Dejemos que $X=\mathbb P(\mathcal E)$ , donde $\mathcal E$ es una gavilla localmente libre de rango $n+1$ en $Y$ un esquema integral de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Estoy tratando de mostrar que $\text{Pic }X\cong \text{Pic }Y\times \mathbb Z$ . El único pequeño punto en el que estoy atascado es en demostrar que toda gavilla invertible en $X$ es de esta forma. Considero una gavilla invertible en $X$ , $\mathcal M$ y es la restricción $\mathcal M_y$ a la fibra $X_y$ sobre un punto $y$ . Como se trata de una gavilla invertible en $\mathbb P^n$ obtenemos que debe ser $\mathcal O_{\mathbb P^n}(m)$ para algunos $m$ . Así que considero $\mathcal M\otimes \mathcal O_X (-m)$ donde el segundo término del producto tensorial proviene de la gavilla natural invertible $\mathcal O_X(1)$ en el haz proyectivo. Mi única pregunta es cómo sé que en otra fibra, digamos $X_{y'}$ , $\mathcal M\otimes \mathcal O_X(-m)$ será isomorfo a $\mathcal O_{X_{y'}}$ como lo es en la fibra sobre $y$ . Una vez que tenga esto puedo usar algo más que he mostrado para terminar.
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Estimado HNuer, un teorema fundamental sobre los grupos de Chow describe la relación entre el anillo de Chow $CH^\ast (\mathbb P(\mathcal E))$ de $X=\mathbb P(\mathcal E)$ y que $CH^\ast (Y)$ de $Y$ cuando $Y$ es una variedad regular sobre un campo no necesariamente cerrado algebraicamente.
Si llamamos a $p:\mathbb P(\mathcal E) \to Y $ la proyección y $\xi$ el haz de hiperplanos relativo $\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)$ tenemos
$$ CH^\ast(\mathbb P(\mathcal E) )= CH^\ast (Y)[\xi]/ < \xi^n +c_1 (p^\ast \mathcal E)\xi^{n-1} +\cdots+c_n (p^\ast \mathcal E)> $$ En particular $CH^1(\mathbb P(\mathcal E) )=p^\ast CH^1(Y)\oplus \mathbb Z \xi. $ (Esto es cierto incluso si $Y$ no es regular)
Si se recuerda que las variedades localmente factoriales (por ejemplo, las variedades regulares o lisas) satisfacen $Pic(P)=CH^1 (P)$ su fórmula se demuestra bajo esta hipótesis de factorialidad local.
Editar: Como señala el OP en sus comentarios, la fórmula $Pic(\mathbb P(\mathcal E) )=p^\ast Pic(Y)\oplus \mathbb Z \xi $ también es cierto para cualquier variedad integral $Y$ sobre un campo algebraicamente cerrado, localmente factorial o no. La herramienta es entonces el teorema de semicontinuidad de Grauert (cf. Hartshorne Capítulo III, §12) en lugar de los grupos de Chow.
Gracias a Piotr Achinger por la idea de considerar la característica de Euler. Estaba buscando una respuesta que no utilizara una maquinaria extravagante más allá de lo que se presenta en el texto principal de Hartshorne (así que nada de Riemann-Roch generalizado). Aquí hay una basada en su sugerencia:
Denota por $\mathcal F$ el haz de líneas $\mathcal M\otimes \mathcal O_X(-m)$ con la notación anterior. Entonces tenemos que en la fibra por encima de nuestro punto $y$ , $\mathcal F_y=\mathcal O_{X_y}$ . Ahora bien, desde $Y$ es un esquema integral, está conectado, y como la característica de Euler es constante en este caso, vemos que $\chi(\mathcal F)(y')$ es la función constante con valor 1 ya que toma ese valor en el punto $y$ . Pero como en $\mathbb P^n$ los haces de líneas no tienen cohomología entre $H^0$ y $H^n$ , obtenemos que $1=\chi(\mathcal F)(y')=h^0(y',\mathcal F)+(-1)^n h^n(y',\mathcal F)$ . Pero esto implica que en cada fibra $\mathcal F_y'$ es el haz de líneas trivial o el haz canónico (si $n$ es par, de lo contrario obtenemos el resultado inmediatamente ya que entonces la característica de Euler sería -1) ya que en cualquier otro caso o bien ambos $h^0$ y $h^n$ desaparecer, o simplemente $h^n$ se desvanece pero luego $h^0$ es demasiado grande.
Ahora, para demostrar que, de hecho, siempre obtenemos el haz de líneas trivial en las fibras, consideramos $h^0(y',\mathcal F)$ . Por semicontinuidad obtenemos que, dado que los únicos valores posibles son 0 y 1, el conjunto $S$ sobre el que se alcanza el 0 por $h^0(y',\mathcal F)$ es abierto (siendo el complemento del conjunto cerrado cuando esta función es $\geq 1$ ). Ahora bien, teniendo en cuenta todo lo anterior con $\mathcal F^{-1}$ en cambio, obtenemos que el conjunto sobre el que se alcanza 0 para $h^0(y',\mathcal F^{-1})$ también está abierto. Pero esto debe ser el complemento de $S$ . Así que $S$ es tanto abierto como cerrado en un espacio conectado, y por lo tanto es o bien vacío o bien todo el espacio. No puede ser todo el espacio ya que nuestro punto $y$ no está en él. Por lo tanto, está vacío y $h^0(y',\mathcal F)=1$ en todas partes. Esto nos da que $\mathcal F_y=\mathcal O_{X_y}$ en cada fibra.
Creo que bajo algún supuesto (sus condiciones ya podrían ser suficientes) puede utilizar la escisión.
Elija un conjunto abierto $U$ en $X$ tal que el haz vectorial $E$ es trivial, denote $X-U=:Z$ y escribir $Z$ para ser $Z_{1}$ que es un divisor, y algunas cosas codimensionales superiores, digamos $Z_{\geq 2}$ . Entonces, utilizando la escisión, se pueden ignorar los términos codimensionales superiores, es decir, podemos suponer $Z_{\geq 2}=0$ . También por inducción podemos suponer $Z=Z_{1}$ es un divisor primo. Entonces aplicamos la escisión a $(X,Z)$ obtener dos secuencias exactas: $$\mathbb{Z} \rightarrow \mbox{Pic}(X) \rightarrow \mbox{Pic}(X-Z)\rightarrow 0$$ y $$\mathbb{Z} \rightarrow \mbox{Pic}(\mathbb{P}(E))\rightarrow \mbox{Pic}(\mathbb{P}(E|_{X-Z}))\rightarrow 0$$ Ahora podemos modificar la primera secuencia añadiendo $\mathbb{Z}$ al segundo y tercer término con el mapa de identidad entre ellos, entonces la secuencia sigue siendo exacta, es decir, tenemos $$\mathbb{Z} \rightarrow \mbox{Pic}(X)\oplus\mathbb{Z} \rightarrow \mbox{Pic}(X-Z)\oplus\mathbb{Z}\rightarrow 0$$ Y para la segunda secuencia, ya que $E|_{X-Z}$ es trivial, por un ejercicio sobre Hartshorne, $\mbox{Pic}(Y\times \mathbb{P}^{n})=\mbox{Pic}(Y)\oplus \mathbb{Z}$ aplicando esto a la segunda secuencia tenemos $$\mathbb{Z} \rightarrow \mbox{Pic}(\mathbb{P}(E))\rightarrow \mbox{Pic}(X-Z)\oplus\mathbb{Z}\rightarrow 0$$ Ahora los términos primero y tercero de estas dos secuencias son iguales, y hay un mapa en la segunda posición, denotado, digamos, $\pi^{*}\oplus \phi$ , donde $\pi^{*}$ es el retroceso de $\pi: \mathbb{P}(E)\rightarrow X$ y $\phi$ envía $1$ a $\mathcal{O}(1)$ .
Ahora bien, el resultado se desprende de cinco lemas si podemos demostrar $\pi^{*}$ es inyectiva, ya que $\phi$ ya es inyectiva. Abusando de la notación denotamos el espacio total del haz vectorial $E$ por $E$ y $i: X\rightarrow E$ sea la inclusión, obtenemos el retroceso $$i^{*}: \mbox{Pic}(E)\rightarrow \mbox{Pic}(X).$$ Además, la proyección $p: E-X \rightarrow \mathbb{P}(E)$ nos da otro tirón $$p^{*}: \mbox{Pic}(\mathbb{P}(E))\rightarrow \mbox{Pic}(E-X).$$ Pero, por supuesto, podemos asumir el rango de $E$ es $\geq 2$ entonces $X$ tiene codimensión $\geq 2$ en $E$ , lo que implica $$\mbox{Pic}(E-X)=\mbox{Pic}(E).$$ Estos mapas se concatenan en un mapa $\mbox{Pic}(\mathbb{P}(E))\rightarrow \mbox{Pic}(X)$ que se ve fácilmente que es una sección de $\pi^{*}$ . Por lo tanto, $\pi^{*}$ es inyectiva.
