¿Cómo evaluar $\int \frac{\sin(x)}{\sin(5x)} \ dx$

Question

• El siguiente problema es tomado de José Edwards libro de Cálculo Integral para los principiantes.

¿Cómo hace uno para mostrar: $$5 \int \frac{\sin(x)}{\sin(5x)} \ dx= \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) \cdot \log\left\{\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{5}\right)}{\sin\left(x+\frac{2\pi}{5}\right)}\right\} -\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \log\left\{\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{5}\right)}{\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right)}\right\} $$

• La división de $\sin{(5x)}$ $\sin{(4x+x)}$ no parece ser de mucha ayuda, desde entonces, tenemos un gran término en el denominador después de la expansión.

Answer 1

Mi $100^{\mbox{th}}$ respuesta publicada en Matemáticas S. E $\,$ (っ▿)۶

Answer 2

No es una respuesta completa, pero creo que el factoring técnica podría ser útil. Vamos a usar $s$ para denotar $\sin(x)$. Puede derivar $\sin(5x)=5s-20s^3+16s^5$. Sabemos $$5s-20s^3+16s^5=16s(s-\sin(\pi/5))(s-sin(2\pi)/5)(s-sin(3\pi/5))(s-sin(4\pi/5))=16s(s-sin(\pi/5))^2(s-sin(2\pi/5))^2$$ por el teorema de factor(aviso $\sin(n\pi/5)$ son raíces del polinomio). Usted probablemente puede hacer parcial de la fracción que conduce a la respuesta final ahora.