¿Cómo encontrar la expectativa de la distribución geométrica 2?

Question

Alec y Bill se turnan para patear un balón de fútbol a una portería, y sus probabilidades de marcar un gol en cada tiro son $p_1$ y $p_2$ respectivamente, independientemente de los resultados anteriores. La primera persona que marque permite a la otra persona una patada más. Si el otro anota, el juego queda empatado. Si el otro falla, el primero ha ganado la partida. Alec comienza una partida.

Dado que $p_1 = p_2 = 1/3$ , hallar el número total esperado de patadas en el juego.

Answer 1

Sea el número total esperado de patadas $c$ . Está razonablemente claro que $c$ existe. Condicionamos los resultados de las dos primeras patadas.

Si Alec acierta en la primera patada (probabilidad $\frac{1}{3}$ ), entonces el número de patadas, y por tanto la expectativa es $2$ ya que a Bill le toca el turno.

Si Alec falla y Bill acierta (probabilidad $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}$ ), entonces el número total de patadas, y por tanto la expectativa, es $3$ .

Si ambos fallan en sus primeras patadas, entonces $2$ Se han desperdiciado patadas, y en esencia el juego comienza de nuevo. Por lo tanto, la expectativa condicional del número de tiros, dado que ambos han fallado, es $2+c$ .

De ello se desprende que $$c=\frac{1}{3}\cdot 2+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot 3+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot(2+c).$$ Resuelve esta ecuación lineal para $c$ .

De otra manera: El juego en esencia consiste en lanzar una moneda que tiene probabilidad $\frac{1}{3}$ de sacar cabezas hasta que consigamos una cabeza, y entonces (debido a la regla de la "última oportunidad") lanzar una vez más.

Por el resultado estándar para la expectativa de una variable aleatoria geométrica, el número de lanzamientos hasta la primera cabeza tiene la expectativa $\frac{1}{1/3}=3$ . La patada de "última oportunidad" hace que la expectativa $4$ .

Observación: El enfoque del condicionamiento, con pequeños cambios, puede utilizarse en situaciones en las que la probabilidad de Alec $p_1$ es diferente de la probabilidad de Bill $p_2$ .

Alternativamente, podemos encontrar expresiones explícitas para la probabilidad de que el número $X$ de patadas es igual a $n$ . Entonces podemos escribir una serie infinita para la expectativa, y sumar la serie.