$X \times \{y\}$ es homeomorfo a $X$

Question

¿Puedo obtener una prueba de verificación? Lo único que no tengo claro es la prueba de continuidad de $f,f^{-1}$ . Sé que la prueba de la biyectividad es trivial.

Pruébalo: $X \times \{y\}$ es homeomorfo a $X$ .

Intento: Tomar el hecho de que podemos demostrar la continuidad mostrando que la imagen inversa de los elementos de la base son abiertos. Definir el mapa $f:X \times \{y\} \rightarrow X$ por $f(x,y)=x$ . Entonces $f$ es uno a uno ya que $f(x,y)=f(w,y)\implies x=w$ y así $(x,y)=(w,y)$ . $f$ es suryente, ya que para cualquier $x \in X, f(x,y)=x$ . Así que $f$ es biyectiva. Sea $U$ sea un conjunto abierto en $X$ . Entonces $f^{-1}(U)=U \times \{y\}=(X \times \{y\}) \cap (U \times Y)$ que es abierto en la topología del subespacio, por lo que $f$ es continua.Sea $W$ sea cualquier conjunto abierto en $X \times \{y\}$ . Entonces $W=(U \times V) \cap (X \times \{y\})$ donde $U \times V$ es abierta en la topología del producto. Entonces $f(W)=U$ está abierto en $X$ y así $f^{-1}$ es continua.

Answer 1

La mayor parte está bien, pero la prueba de que $f$ es un conjunto abierto necesita un poco más de trabajo. El problema es que no es inmediatamente obvio que un conjunto abierto $W$ en $X\times\{y\}$ es de la forma $(U\times V)\cap(X\times\{y\}$ para algunos abiertos $U\subseteq X$ y $V\subseteq Y$ Lo único que sabes es que $W=U\cap(X\times\{y\})$ para algún subconjunto abierto $U$ de $X\times Y$ y que $U$ no tiene por qué ser "rectangular".

Esta es una forma de evitar el problema. Deja que $U$ sea un conjunto de este tipo. Para cada $x\in f[W]$ hay abiertos $G_x\subseteq X$ y $V_x\subseteq y$ tal que

$$\langle x,y\rangle\subseteq G_x\times V_x\subseteq U\,.$$

Dejemos que $G=\bigcup_{x\in f[W]}G_x$ ; $G$ está abierto en $X$ . Sea $z\in G$ . Entonces $z\in G_x$ para algunos $x\in f[W]$ Así que $\langle z,y\rangle\in G_x\times V_x\subseteq U$ . Claramente $\langle z,y\rangle\in X\times\{y\}$ Así que $\langle z,y\rangle\in W$ . Te dejo que verifiques que si $z\in X\setminus G$ entonces $\langle z,y\rangle\notin W$ y concluir que $f[W]=G$ y por lo tanto que $f$ está abierto.

Answer 2

Sé que no lo has pedido, pero no tengo nada mejor que hacer y he estado pensando en ello. Los conjuntos abiertos de $X$ y $X\times\{y\}$ están en correspondencia biyectiva, creo que de forma bastante trivial. Los conjuntos subyacentes también están claramente en correspondencia biyectiva. Por lo tanto, son homeomórficos. Esa es mi prueba alternativa.

Answer 3

Casi, pero no del todo. No es obvio (aunque resulta ser cierto) que $W=(U \times V)\bigcap (X \times \{y\}) $ . Todo lo que puede decir directamente es que $W$ es la intersección de algún subconjunto abierto de $X \times Y$ y $X \times \{y\}$ . No todos los conjuntos abiertos de la topología del producto son productos de conjuntos abiertos. Los productos de conjuntos abiertos sólo forman una base para la topología del producto, por lo que es necesario utilizarla.