Derivar utilizando la aproximación de Taylor hasta el 4º grado (en $h$ ) de $f$ en $x_0 \pm h$ , $x_0\pm 2h$ en $x_0$ una fórmula de aproximación de $f'''(x_0)$ con un término de error de orden $h^2$ .
¿Podría alguien verificar mi solución, sería lo siguiente?
¿Hay alguna restricción en $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$ ? (¿dónde residen estos valores?)
Para un determinado $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$ $$ \begin{align} f(x_0+h) & = f(x_0) + f'(x_0)h+f''(x_0)\dfrac{h^2}{2}+ f'''(x_0)\dfrac{h^3}{6} + f^{(4)}(x_0)\dfrac{h^4}{24} + f^{(5)}(\xi_1)\dfrac{h^5}{120}\\ f(x_0-h) & = f(x_0) - f'(x_0)h+f''(x_0)\dfrac{h^2}{2}- f'''(x_0)\dfrac{h^3}{6} + f^{(4)}(x_0)\dfrac{h^4}{24} - f^{(5)}(\xi_2)\dfrac{h^5}{120}\\ f(x_0+2h) & = f(x_0) + f'(x_0)2h+f''(x_0)2h^2+ f'''(x_0)\dfrac{4h^3}{3} + f^{(4)}(x_0)\dfrac{2h^4}{3} + f^{(5)}(\xi_3)\dfrac{4h^5}{15}\\ f(x_0-2h) & = f(x_0) - f'(x_0)2h+f''(x_0)2h^2- f'''(x_0)\dfrac{4h^3}{3} + f^{(4)}(x_0)\dfrac{2h^4}{3} - f^{(5)}(\xi_4)\dfrac{4h^5}{15}\\ \end{align}$$
Entonces, multiplicando y sumando esto se puede reescribir para un determinado $\tilde \xi$ :
$$f(x_0+2h)-f(x_0-2h)-2[f(x_0+h)-f(x_0-h)] = f'''(x_0)2h^3 + \tilde \xi h^5 $$
De tal manera que para un determinado $\xi$ :
$$\dfrac{1}{2h^3} \left( f(x_0+2h)-f(x_0-2h)-2[f(x_0+h)-f(x_0-h)]\right) + \xi h^2 = f'''(x_0) $$
