Pregunta sobre los espacios Lp

Question

Ejercicio:

Supongamos que $E$ tiene medida finita y $1\le p_{1}<p_{2}\le\infty$ . Demuestre que si { $f_{n}$ } $\space\rightarrow f$ en $L^{p_{2}}(E)$ entonces { $f_{n}$ } $\space\rightarrow f$ en $L^{p_{1}}(E)$

Prueba:

Tome $p_{1}<p_{2}$ entonces $||f||_{p_{1}}\le||f||_{p_{2}}$

$0 \le||f_n-f||_{p_{1}}\le||f_n-f||_{p_{2}} \rightarrow 0$

$\therefore $ { $f_{n}$ } $\space\rightarrow f$ en $L^{p_{1}}(E)$

¿Es esto correcto?

Answer 1

Como señala Daniel Fischer, la desigualdad $\lVert f\rVert_{p_1}\leqslant \lVert f\rVert_{p_2}$ no se sostiene necesariamente.

Sin embargo, observe que para un $\varepsilon$ \begin{align*}\int_E |f_n-f|^{p_1}dx&=\int_{\{|f_n-f|<\varepsilon\}}|f_n-f|^{p_1}dx+ \int_{\{|f_n-f|\geqslant \varepsilon\}}|f_n-f|^{p_1}dx\\ &\leqslant \varepsilon^{p_1}\mu(E)+\varepsilon^{p_1}\int_{\{|f_n-f|\geqslant \varepsilon\}}\left(\frac{|f_n-f|}{\varepsilon}\right)^{p_1}dx\\ &\leqslant \varepsilon^{p_1}\mu(E)+\varepsilon^{p_1}\int_{\{|f_n-f|\geqslant \varepsilon\}}\left(\frac{|f_n-f|}{\varepsilon}\right)^{p_2}dx\\ &\leqslant \varepsilon^{p_1}\mu(E)+\varepsilon^{p_1-p_2}\int |f_n-f|^{p_2}dx. \end{align*} Deducimos que $$\limsup_{n\to +\infty}\int_E |f_n-f|^{p_1}dx\leqslant \varepsilon^{p_1}\mu(E),$$ y concluimos, como $\varepsilon$ era arbitraria.