El cálculo de $\int x dx$ mediante el uso de funciones trigonométricas

Question

Bueno, traté de resolver la integral: $$\int x dx$$ using trigonometric functions instead of using the general formula for it. (If $n \neq -1$,$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$)

Así que me dio un disparo en esta forma:

$$\int x dx = \int \sin\theta \cos\theta d\theta = \dfrac{1}{2}\int \sin2\theta d\theta=\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{-1}{2}\cos^2\theta\big)+C=\dfrac{-1}{4}(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+C$$

$$x=\sin\theta ,\cos\theta=\sqrt {1-x^2}, dx = \cos\theta d\theta$$

Por lo tanto sustituimos:

$$\int x dx = \dfrac{1}{2}\int \sin2\theta d\theta=\dfrac{-1}{4}(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+C=\dfrac{-1}{4}+\dfrac{x^2}{2}+C'$$

Si me hubieran resuelto la integral con la fórmula general yo no tengo la cantidad parcial de la integración constante($\dfrac{-1}{4}+C'$) como mi respuesta final.

Simplemente, mi pregunta es ¿por qué otra constante se levantan cuando hago la integración con trigonométricas sustitución?Sé que me puede hacer caso omiso de lo que parecía constante pero, ¿por qué aún se levantan?

Si todavía no estoy lo suficientemente claro, por favor, dígame para corregir mi pregunta.

Answer 1

No hay otra constante, porque como ves, $\int\sin 2\theta\, d\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2} = \sin^2 \theta$. Oh, ¿qué es eso, estás diciendo que es sólo $\dfrac{-\cos 2\theta}{2}$? Bueno bueno, voy a decir que $\int x\, dx = \dfrac{x^2}{2} -\dfrac{1}{4}$.

Espero a ver lo que está pasando. No hay una única anti-derivada. Usted siempre hacer una elección cuando se escribe como una función en particular. Mi ejemplo favorito es, $$\int \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \cos^{-1} x$$ because $\dfrac{d}{dx} \cos^{-1}x = \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$, but hey $$\int \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\sin^{-1} x$$ because $\dfrac{d}{dx}\sin^{-1} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$. What's going on? $\dfrac{\pi}{2} - \sin^{-1} x = \cos^{-1} x$.

En el ejemplo de tu pregunta es similar, solo que hay, la constante es explícito, es visible. Pero no hay ninguna razón para decir que el $1 - \cos2\theta$ es menos de una función que $-\cos2\theta$, por lo que no puede fundamentalmente a discriminar entre los dos (a la hora de decidir que uno de los anti-derivado de "deber ser").

Answer 2

La constante de integración arbitraria y dos anti-derivados son equivalentes si difieren por una constante.

Por ejemplo, desde $$\int0\,\mathrm{d}x=C$$ tenemos no sólo $$\int\cos(x)\,\mathrm{d}x=\sin(x)+C$$ pero también $$\begin{align} \int\cos(x)\,\mathrm{d}x &=\int(\color{#C00000}{\cos(x)}+\color{#00A000}{0})\,\mathrm{d}x\\ &=\int\color{#C00000}{\cos(x)}\,\mathrm{d}x+\int\color{#00A000}{0}\,\mathrm{d}x\\[6pt] &=\color{#C00000}{\sin(x)+C}+\color{#00A000}{C} \end{align}$$ donde las constantes $\color{#C00000}{C}$ $\color{#00A000}{C}$ son posiblemente las diferentes constantes.

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En el caso particular de dar, el uso de $x=\sin(\theta)$, $$\begin{align} \int x\,\mathrm{d}x &=\int\sin(\theta)\,\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=\int\tfrac12\sin(2\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=-\tfrac14\cos(2\theta)+C\tag{%#%#%}\\[3pt] &=-\tfrac14(1-2\sin^2(\theta))+C\\[3pt] &=\tfrac12\sin^2(\theta)+C-\tfrac14\\[3pt] &=\tfrac12x^2+C-\tfrac14 \end{align}$$ En el paso $\ast$, ten en cuenta que a pesar de $(\ast)$ corresponde a $x=0$, $\theta=0$ en $-\frac14\cos(2\theta)=-\frac14$. Aquí es donde el $\theta=0$ es introducido, si eso es lo que usted está preguntando acerca de.

Sin embargo, aún más simple que las alteraciones del método de integración puede producir diferentes, pero equivalentes, las formas de la constante de integración: $$\begin{align} \int x\,\mathrm{d}x &=\frac12\int 2x\,\mathrm{d}x\\ &=\frac12\left(x^2+C\right)\\[6pt] &=\tfrac12x^2+\tfrac12C \end{align}$$