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El teorema de Vogt para las curvas planas establece que si A y B son puntos extremos de un arco de espiral la curvatura no disminuye de A a B. El ángulo $\beta$ de la tangente al arco en B con la cuerda AB no es menor que el ángulo $\alpha$ de la tangente en A con AB. $\alpha = \beta$ sólo si la curvatura es constante.
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¿Alguien conoce algún resultado que extienda este teorema a las curvas espaciales o a las curvas de dimensión superior? Tengo la siguiente conjetura para curvas espaciales: Dada una curva regular en el espacio $\gamma : [0, l] \rightarrow \mathbb{R}^3$ parametrizado por la longitud de arco $s$ , dejemos que $\kappa$ y $\tau$ denotan la curvatura euclidiana y la torsión, respectivamente. Supongamos que $\kappa$ es no decreciente y $\tau$ es no decreciente. Sea $A = \gamma(0)$ y $B = \gamma(l)$ y que $\alpha$ sea el ángulo entre el plano tangente a $\gamma(0)$ y el acorde $AB$ y que $\beta$ sea el ángulo entre el plano tangente a $\gamma(l)$ y el acorde $AB$ . Afirmamos que $\alpha \leq \beta$ y la igualdad se mantiene sólo si $\gamma$ es una hélice circular.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un intento de prueba (aún incompleta) de la afirmación anterior. Estaré encantado de recibir cualquier corrección y/o comentario.
Denotemos la curva $\gamma$ mediante la siguiente parametrización $\gamma(s) = (x_1(s), x_2(s), x_3(s))$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $A = \gamma(0) = (0, 0, 0)$ y $B = \gamma(l) = (x_1(l), 0, 0)$ .
Dejemos que $\theta(s)$ denotan el ángulo entre el plano tangente en $\gamma(s)$ y el acorde $AB$ Así pues, tenemos que: $\sin \theta(s) = \langle B(s), (1,0,0) \rangle$ . Utilizando las fórmulas de Frenet-Serret donde :
$T'(s) = \kappa(s) N(s)$ y $N'(s) = -\kappa(s) T(s) -\tau(s) B(s)$
tenemos que : $\sin \theta(s) = \langle B(s), (1,0,0) \rangle = \frac{1}{\kappa(s)} (\gamma'(s) \times \gamma''(s)) = \frac{1}{\kappa(s)} (x_2'(s) x_3''(s) - x_3'(s) x_2''(s))$ .
Reclamación : $\alpha \leq \beta$ es decir, basta con demostrar que $\int_{\theta(0)}^{\theta(l)} \sin \theta d\theta \geq 0$ .
A partir de la ecuación de $\sin \theta(s)$ obtenemos que $d\theta(s) = \frac{\kappa(s) f'(s) - f(s) \kappa'(s)}{\kappa(s)\sqrt{\kappa(s)^2-f(s)^2}}$ , donde $f(s) := x_2'(s) x_3''(s)-x_2''(s) x_3'(s) = \kappa(s) \langle B(s), e_1 \rangle$ y $e_1:= (1,0,0)$ .
Simplificando aún más utilizando las fórmulas de Frenet-Serret, obtenemos:
$\int_{\theta(0)}^{\theta(l)} \sin \theta(s) d\theta(s) = \int_0^l \frac{\tau(s)}{\kappa(s)} \frac{\langle B(s), e_1 \rangle \langle N(s), e_1 \rangle}{\sqrt{1-\langle B(s), e_1\rangle ^2}} ds$ .
De aquí no me queda claro que el producto del integrando sea siempre positivo, o usando la integración por partes el integrando sea siempre positivo.
