Homología celular del cociente de $S^1\times D^2$ por su límite

Question

Estaba tratando de averiguar la homología del espacio $(S^1\times D^2)/( S^1\times S^1)$ utilizando una descomposición del complejo celular. En primer lugar, sabemos que:

• $S^1$ tiene una $0$ -célula, una $1$ -célula y $D^2$ tiene una $0$ -célula, una $1$ -célula y una $2$ -célula.

Así que,

• $S^1\times D^2$ tiene una $0$ -célula, dos $1$ -células, dos $2$ - células, una $3$ -célula, y
• $S^1\times S^1$ tiene una $0$ -célula, dos $1$ -células y una $2$ -célula.

Así que tomando el cociente, $(S^1\times D^2)/(S^1\times S^1)$ nos quedamos con una $0$ -célula, no $1$ -células, una $2$ -célula y una $3$ -célula.

Así que tenemos una secuencia, $\mathbb Z\stackrel{d}{\to}\mathbb{Z}\to 0\to \mathbb{Z}$ . ¿Cómo puedo calcular $d$ ? Siento que debería ser $0$ pero no puedo probarlo.

Answer 1

Respuesta corta: en la descomposición celular de $S^1\times D^2$ el límite de la $3$ -célula está hecha exactamente de la $2$ -célula por la que vas a cotizar. Por lo tanto, en la estructura del cociente CW, el límite del $3$ -La célula es $0$ como usted esperaba.

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Respuesta larga:

Concretamente cómo se construye el cociente utilizando estas celdas:

• En primer lugar, tienes un punto ( $0$ -), que se puede representar como una (clase de equivalencia del) toro $S^1\times S^1$ que cotizó y que, por tanto, es ahora un $0$ -célula.
• A continuación, se añade un $2$ -célula $\{\text{pt}\}\times D^2$ para algún punto $\text{pt}\in S^1$ El límite de esta $2$ -se asigna por completo a la $0$ -célula como debería.
• Por último, rellena el toro sólido con un $3$ -célula: todo el límite de su $3$ -el balón va al $0$ -(el límite del toroide sólido original), excepto el $2$ -célula que se cubre dos veces, con diferentes orientaciones .

Esta última frase es la razón por la que su mapa es $0$ como usted esperaba.