Teorema del límite central en L^p

Question

Dejemos que $X = X(t)$ , $t \in [0,1]$ sea un proceso estocástico tal que $\int_0^1 |X(t)|^p dt < \infty$ casi seguro, donde $1 \leq p < \infty$ . Así, $X$ toma valores en $L^p = L^p([0,1], dt)$ . Supongamos además (para simplificar) que $E(X(t)) = 0$ por cada $t$ . Dejemos ahora $X_1, X_2, \ldots$ sea una secuencia de copias independientes de $X$ . ¿Bajo qué supuesto de la ley de $X$ existe un teorema del límite central, es decir, la secuencia $\frac {1}{\sqrt n} (X_1 + \cdots + X_n)$ está apretado en $L^p$ y converge hacia algún proceso gaussiano (en $L^p$ )? ¿Existen condiciones necesarias y suficientes sobre la ley de $X$ ?

Answer 1

Las siguientes son condiciones necesarias y suficientes para el teorema del límite central que desea:

(i) para $p\in[1,2]$ : $$\int_0^1(EX(t)^2)^{p/2}\,dt<\infty\tag{1}$$ (véase por ejemplo Giné, p. 147 );

(ii) para $p\in(2,\infty)$ : (1) & $u^2P(\|X\|>u)\to0$ como $u\to\infty$ (véase por ejemplo Pisier y Zinn ).