Sí, en general, el modelo $M[g]$ tendrá la misma cantidad de iterabilidad que $M$ . Para ver esto, necesitamos el siguiente lema que da la condición necesaria y suficiente para cuando una ultrapotencia de una extensión genérica es la elevación de una ultrapotencia del modelo base.
Lema : Supongamos que $M$ es un modelo transitivo de ${\rm ZFC}^-$ , $\mathbb P\in M$ es un poset y $G\subseteq \mathbb P$ es $M$ -genérico. Supongamos además que $U\in M$ es un ultrafiltro en un cardinal $\delta$ y $U^*\in M[G]$ es un ultrafiltro en $\delta$ ampliando $U$ , ambos con ultrapoderes bien fundados. Entonces la ultrapotencia por $U^*$ es una elevación de la ultrapotencia por $U$ si y sólo si cada $f:\delta\to M$ en $M[G]$ es $U^*$ -equivalente a algunos $g:\delta\to M$ en $M$ .
Dejemos que $\delta$ sea la preimagen de $\kappa$ en $\pi$ y que $M=M_0$ . Sea $j_{\xi\mu}:M_\xi\to M_\mu$ sean los ultrapoderes iterados de $M_0$ por $U'$ . Podemos elevar toda la iteración al sistema dirigido que consiste en $j_{\xi\mu}:M_\xi[g]\to M_\mu[g]$ . Así que basta con argumentar que esta es precisamente la iteración de $M_0[g]$ por $U^*$ , donde $U^*$ es el ultrafiltro que se extiende $U'$ generado por el uso de $\delta$ como una semilla del ascensor $j_{01}:M_0[g]\to M_1[g]$ (para $A\subseteq\delta$ en $M_0[g]$ tenemos $A\in U^*$ siempre que $\delta\in j_{01}(A)$ ) . La incrustación $j_{01}:M_0[g]\to M_1[g]$ es precisamente la ultrapotencia por $U^*$ . Por lo tanto, la conclusión para $j_{01}$ se desprende de la definición de $U^*$ . Así, $M_0[g]$ satisface que "cada nueva función de $\delta$ en $M$ es $U^*$ -equivalente a una función antigua" por el lema. Pero, entonces por elementalidad $M_1[g]$ lo satisface para $j_{01}(U^*)$ y $M_1$ lo que significa que la ultrapotencia de $M_1[g]$ por $j_{01}(U^*)$ es la elevación de $j_{12}:M_1\to M_2$ , a saber $j_{12}:M_1[g]\to M_2[g]$ (las elevaciones de las pequeñas extensiones de forzamiento son únicas). Por elementalidad, podemos seguir propagando esta afirmación a lo largo de toda la iteración.
De hecho, el resultado es mucho más general. Incluso si $\mathbb Q$ no es pequeño en relación con $\delta$ pero somos capaces de levantar la primera ultrapotencia $j_{01}:M_0\to M_1$ a $M_0[g]$ , entonces cada iteración por $U^*$ (obtenida como antes) satisfará la afirmación de "no hay nuevas funciones" y, por lo tanto, será una elevación de una incrustación del modelo básico y, por lo tanto, estará bien fundada. Por lo tanto, para elevar toda la iteración, basta con elevar sólo el primer paso. Además, la elevación de la iteración es la iteración de la elevación. Se necesita un argumento más complicado (y algunas restricciones más sobre el forzamiento) en el caso de que el ultrafiltro $U'$ es un $M$ -ultrafiltro que es externo a $M$ porque el enunciado cuya elementalidad estamos utilizando no es necesariamente expresable en $M$ en esa situación. Este argumento se da en mi documento (con Arthur Apter y Joel Hamkins) Los modelos internos con grandes rasgos cardinales suelen obtenerse forzando .
