Encontrar el primer dígito de $2015^{2015}$

Question

¿Puede alguien ayudarme a encontrar el primer dígito de $2015^{2015}$ ?

Es fácil encontrar el último dígito pero no tengo ni idea para el primer dígito.

Answer 1

Ahora bien, no has dicho "a mano" como suelen hacer estos cálculos, pero supondré que al menos eres de antes de 1950 por lo que las soluciones como sólo pidiendo a Wolfram Alpha sobre un simple número de 8000 dígitos están más allá de ti.

Podemos calcular $\log_{10}(2015^{2015})=2015(\log_{10}(2.015)+3)$ y consultando a mi fiel tablas Me parece que $$\log_{10}(2.015)\approx\frac{\log_{10}(2.01)+\log_{10}(2.02)}2\approx\frac{0.30320+0.30535}2\approx0.30428,$$ así que $\log_{10}(2015^{2015})\approx6658.1$ . (Tengo que hacer este cálculo lo suficientemente bien como para demostrar que está entre $6658$ y $6658+\log_{10} 2\approx6658.3$ para demostrar la afirmación).

Entonces, $6658\le\log_{10}(2015^{2015})<6658+\log_{10} 2$ da $10^{6658}\le2015^{2015}<2\cdot 10^{6658}$ , por lo que el primer dígito es $1$ .

Answer 2

El dígito de las unidades es, por supuesto, un 5.

Para el dígito inicial, véase que $n^n = 10^{n\cdot log_{10}(n)} \approx 10^{2015\cdot3.304275} \approx 10^{6658.114} = 10^{6658}10^{0.114} \approx 1.3008\cdot 10^{6658}$ . Por lo tanto, los primeros dígitos de su número son 13008...

Compruébalo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2015^2015

Answer 3

Toma el logaritmo de base diez.
Por las leyes de los logaritmos, eso será igual a $2015\log2015$ . Supongamos que es $x+y$ , donde $x$ es un número entero y $0<y<1$ . El número tiene $x+1$ dígitos.
$y$ te dice el primer dígito. O mejor dicho, $10^y$ comienza con los mismos dígitos $2015^{2015}$ lo hace.