La prueba de que $2^{222}-1$ es divisible por 3

Question

Cómo puedo probar que $2^{222}-1$ es divisible por tres? Ya tengo descompone de la siguiente forma: $(2^{111}-1)(2^{111}+1)$ y entiendo que debo probar que $(2^{111}-1)$ es divisible por tres, o que $(2^{111}+1)$ es divisible por tres. Pero, ¿cómo puedo solucionar este problema?

Answer 1

Los tres números $2^{111}-1$, $2^{111}$ y $2^{111}+1$ son consecutivos, y entonces uno de ellos es divisible por $3$. Pero $2^{111}$ no es, desde $2$ es primo.

Answer 2

SUGERENCIA

Si usted está familiarizado con el teorema del binomio $$\color{blue}{2^{222}}-1 = \color{blue}{(3-1)^{222}}-1 = \color{blue}{1+3M} -1 = \color{blue}{3M}$$

Answer 3

La rutina manera es invocar Fermat poco teorema de: $$a^{p-1}-1\equiv 0\,(\text{mod}\,p)$$ for $\mathrm{mcd}(a,p)=1$. Conecte $a=2^{111},p=3$.

Answer 4

Al $n$ es impar tenemos que $$a^n+1=(a+1)(a^{n-1}-a^{n-2}+a^{n-3}-\cdots-a+1)$$ Conectar $a=2$ puede ver que la expresión es divisible por 3

Answer 5

Usted puede utilizar coungrence $$2 \equiv 2 \;(\bmod\; 3)$$ $$2^2 \equiv 4 \equiv 1 \;(\bmod\; 3)$$ $$2^3 \equiv 8 \equiv 2 \;(\bmod\; 3)$$

Es fácil llegar a la conclusión (y demostrar) que: $$2^{2k} \equiv 1 (\bmod\; 3)$$ $$2^{2k+1} \equiv 2 \;(\bmod\; 3)$$

Por lo $$2^{222} \equiv 1 \;(\bmod\;3)$$ y $$2^{222} - 1\equiv 1 - 1 \equiv 0 \;(\bmod\;3)$$