feynman lectures physics vol 1 chap 13 13-4 prove

Question

Hola chicos he entrado recientemente en este libro de Feynman y tengo una pregunta al leerlo.

La última parte del capítulo 13 demuestra que

la fuerza producida por la tierra en un punto de la superficie o fuera de ella es la misma que si toda la masa de la tierra estuviera situada en su centro.

Aquí hay una url para la imagen que utiliza..

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/img/FLP_I/f13-06/f13-06_tc_big.svgz

Al demostrarlo, dijo

Si llamamos a $x$ la distancia de una determinada sección plana desde el centro, entonces toda la masa que se encuentra en una rebanada $dx$ está a la misma distancia $r$ de $P$ y la energía potencial debida a este anillo es $Gmdm/r$ . Cuánta masa hay en la pequeña porción $dx$ ? Una cantidad $dm=2\pi y\mu ds=\frac{2\pi y\mu dx}{\sin\theta}=\frac{2\pi y\mu dxa}{y}=2\pi a\mu dx$ ,

donde $\mu=\frac{m}{4\pi a^2}$ es la densidad superficial de la masa en la cáscara esférica. (Es una regla general que el área de una zona de una esfera es proporcional a su anchura axial). Por tanto, la energía potencial debida a $dm$ es $dW=\frac{Gmdm}{r}=\frac{Gm2\pi a\mu dx}{r}$ . Pero vemos que $r^2=y^2+(Rx)^2=y^2+x^2+R^22Rx=a^2+R^22Rx$ .

En esta parte tengo algunas preguntas..

primero cómo puedo conseguir $dm=2\pi y\mu ds=\frac{2\pi y\mu dx}{\sin\theta}=\frac{2\pi y\mu dxa}{y}=2\pi a\mu dx$ y $\mu = m/(4\pi a^2)$ ?

y en segundo lugar establece $r^2=y^2+(Rx)^2$ pero si theta supera $\pi/2$ entonces $r^2=y^2+(R+x)^2$

No tengo ni idea de cómo acaba con

$W=\frac{Gm2\pi a\mu}{R}\int_{R+a}^{R-a}dr=Gm2\pi a\mu\frac{2a}{R}=\frac{Gm(4\pi a2\mu)}{R}=\frac{Gmm}{R}$ .

¿Podría explicar estas dos cosas?

Answer 1

Primera pregunta: $\mu$ es la densidad de la superficie. La cáscara esférica tiene una masa $m$ . El área de una esfera de radio $a$ es $4\pi a^2$ . Así que $$\mu=\frac{m}{4\pi a^2}$$ Ahora tomamos una rebanada fina en esta cáscara esférica, a la distancia $x$ desde el centro, y el grosor $dx$ a lo largo de este eje. El resultado es algo parecido a un anillo, pero el lado del anillo está inclinado con respecto al eje del anillo. Esto se puede ver claramente en la figura. El radio de este anillo es $y=a\sin\theta$ . El grosor es $ds$ , por lo que el área es $2\pi y ds=2\pi a\sin\theta ds$ . Como he mencionado antes, el lado del anillo está inclinado. $ds$ es perpendicular al radio, por lo que el plano tangente hace el ángulo $90^\circ-\theta$ con respecto a la horizontal(dibujar una horizontal en $ds$ y ver). Entonces la proyección sobre el eje horizontal es $dx=ds\cos(90^\circ-\theta)=ds\sin\theta$ . Ahora, poniendo todo junto, la masa $dm$ de este anillo es igual al área multiplicada por la densidad de masa de la superficie: $$dm=\mu2\pi yds=2\pi\mu a\sin\theta\frac{dx}{\sin\theta}=2\pi\mu a dx$$

Ahora la segunda parte: la distancia entre el centro de la esfera y el punto $P$ es $R$ . Usted está confundido por el hecho de que no se mencionó que $x$ es una cantidad con signo. Es positiva para los puntos situados entre el centro de la cáscara esférica y el punto $P$ , pero es negativo para los puntos a la izquierda del centro , en la figura. Estos ocurren para $\theta\in(\pi/2,\pi]$ . A su entender $x$ es de hecho $|x|$ de las notas de la conferencia.

Hágame saber si hay algo más que no esté claro.