Prueba $(x_n)$ no converge a un número real $x$ utilizando la definición

Question

$x_n$ = $(-1)^n(1-{1\over n})$

Pruébalo: Si $x$ $\Bbb{R}$ es cualquier número real, entonces ( $x_n$ ) no converge a $x$ .

Esto debe demostrarse utilizando la negación de la definición, es decir

$\exists{\varepsilon}>0$ , $\forall{N\Bbb{N}}$ , $\exists{n}>N$ : $|x_n-x|\ge\varepsilon$

Answer 1

$\exists{\varepsilon}>0, \forall{N∈\Bbb{N}}, \exists{n}>N : |x_n-x|\ge\varepsilon$

Tomemos $\varepsilon = \frac{1}{2}$ . $\forall n > 1: |x_n| \geq \frac{1}{2}$ y $|x_n - x_{n+1}| \geq 1$ . Entonces, aunque para algunos $n$ : $|x_n - x| < \varepsilon$ entonces $|x_{n+1} - x| = |x_{n+1} - x_n + x_n - x| \geq |x_{n+1} - x_n| - |x_n - x| > 1- \varepsilon$ .

Answer 2

Supongamos que $\lim_{n\to\infty}x_n=x\in \mathbb{R}$ Dejemos que $\epsilon=\frac{1}{4}$

Supongamos que $x\leq 0, \forall n>1,(-1)^{2n}(1-{1\over 2n})>\frac{1}{2}$ Por lo tanto $\forall N\in \mathbb{N}$ , elige $n=2N>N$ entonces $$|(-1)^{n}(1-{1\over n})-x|=(-1)^{n}(1-{1\over n})-x\geq(-1)^{n}(1-{1\over n})>\frac{1}{2}>\epsilon$$

Del mismo modo, para $x> 0$ considerando $n$ es impar.

Por definición, no converge a ningún número real.