El $3$ -de la variedad riemanniana de Schwarzschild $(M,\bar{g})$ viene dada por $M=[s_0,\infty)\times\mathbb{S}^2$ con \begin{align} \bar{g}=\frac{1}{1-\frac{2m}{s}}ds\otimes ds+s^2g_{\mathbb{S}^2} \end{align} donde $m>0$ y $g_{\mathbb{S}^2}$ es la métrica redonda estándar en la unidad $2$ -esfera. Por un cambio de variable, se puede escribir como un producto alabeado $M=[0,\infty)\times\mathbb{S}^2$ con \begin{align} \bar{g}=dr\otimes dr+u(r)^2g_{\mathbb{S}^2} \end{align} donde $u:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ es la función de deformación suave que satisface \begin{align} u'(r):=\frac{du}{dr}=\sqrt{1-\frac{2m}{u(r)}} \end{align} En esta pregunta me interesa la energía de Willmore \begin{align} \int_{\Sigma_r}H^2d\mu \end{align} (mi curvatura media aquí es $H=\lambda_1+\lambda_2$ sin dividir por 4) de las rodajas $\{r\}\times\mathbb{S}^2$ en $(M,\bar{g})$ .
Desde $(M,\bar{g})$ es un producto alabeado, puedo calcular que \begin{align} \int_{\Sigma_r}H^2d\mu&=16\pi u'(r)^2 \\ &=16\pi\left(1-\frac{2m}{u(r)}\right) \end{align} que depende de $r$ .
Por otro lado, también se sabe que $(M,\bar{g})$ puede escribirse como $(\mathbb{R}^3\setminus B_{2m}(0),\bar{g})$ con \begin{align} \bar{g}=\left(1+\frac{m}{2|x|}\right)^4\delta \end{align} donde $\delta$ es la métrica plana euclidiana estándar, y $|\cdot|$ es la norma euclidiana. Esto demuestra que $\bar{g}$ es conforme a $\delta$ . Ahora, como la energía de Willmore es un invariante conforme, y como $\Sigma_r$ es una esfera redonda, se deduce del resultado estándar del propio Willmore que \begin{align} \int_{\Sigma_r}H^2d\mu=16\pi \end{align} que claramente es una constante absoluta.
En resumen, obtengo dos respuestas diferentes a partir de razonamientos distintos. Al menos uno de ellos debe contener alguna falacia que no percibo. Por ello, me gustaría pedir una explicación al respecto.
Cualquier comentario y respuesta son bienvenidos y muy apreciados.
