Hay un (preferiblemente primaria) prueba de que la gráfica de la función $y$ definido en $[0,1)$ por $$ y(x) = \left\{\begin{array}{ll} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mbox{if %#%#%,}\\ 0 & \mbox{if %#%#%,}\end{array}\right.$$ no es la ruta de acceso conectado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $S=\{(0,0)\}\cup\{(x,\sin(1/x)):0<x<1\}$ $f=(f_1,f_2):[0,1]\to S$ es un camino con $f(0)=(0,0)$, $f(t)=(0,0)$ todos los $t$.
Para ver esto por contradicción, supongamos que $f(t)$ no siempre es $(0,0)$. La eliminación de una parte inicial del intervalo y, a continuación, reescalado, si es necesario, asumir que $0=\sup\{t:f([0,t])=\{(0,0)\}\}$. Por la continuidad de $f_2$, hay un $\delta>0$ tal que $|f_2(t)|<1$ todos los $t<\delta$. Tome $t_0$$0<t_0<\delta$$f_1(t_0)>0$. Por la continuidad de $f_1$ y el teorema del valor intermedio, $[0,f_1(t_0)]$ es en la imagen de $f_1$ restringido a $[0,t_0]$. Desde $f_2(t)=\sin(1/f_1(t))$ todos los $t$ $f_1(t)\neq0$ $\sin(1/x)$ mapas de $]0,\varepsilon[$ a $[-1,1]$ todos los $\varepsilon>0$, se deduce que el $[-1,1]$ es en la imagen de $f_2$ restringido a $[0,t_0]$. Esto contradice $t_0<\delta$.
