Homomorfismos de anillos de $A[X]$

Question

Dejemos que $A,B$ sean anillos conmutativos. En una de mis clases, estábamos estudiando $\operatorname{Hom}(A[X],B)$ y así el profesor obtuvo un morfismo de anillo $f:A[X]\to B$ y declaró: Desde $f$ es un homomorfismo de anillo,

$$f\left(\sum_{i=0}^{n} a_i x^i\right)=\sum_{i=0}^{n}f(a_ix^i)=\sum_{i=0}^{n}f(a_i)f(x^i)$$

Así que con el primer signo de igualdad todo está bien. Ya que $f$ separa la suma entre dos polinomios cualquiera. Sin embargo, no veo cómo la separación del producto de dos polinomios, implica $f(a_i x^i)=f(a_i)f(x^i)$ Desde que el $\textit{product}$ de $a_ix^i$ es un producto formal. ¿Es cierta la igualdad anterior?

Answer 1

Pero $a_ix^i$ no es sólo un producto formal, en realidad es un producto de dos polinomios, a saber,, $$a_i= a_i +0x+0x^2+\cdots$$ y $$x^i=0+0x+\cdots+0x^{i-1}+1x^i+0x^{i+1}+\cdots.$$ Así que, efectivamente, en un homomorfismo de anillo de $A$ , $$f(a_ix^i)=f(a_i)f(x^i).$$

Answer 2

Los elementos de $A[X]$ son sumas formales $\sum_{i=0}^n a_i X^i$ . El multiplicación en $A[X]$ se define de tal manera que, por ejemplo, el producto de (la suma formal) $a$ y (la suma formal) $X$ es (la suma formal) $a X$ . Entonces, efectivamente (la suma formal) $a_i X^i$ es el producto de $a_i$ y $i$ copias de $X$ y el homomorfismo $f$ pasa por esta multiplicación.