Si todo lo que se conoce son las distribuciones estacionarias, entonces no hay una fórmula general.
He aquí un ejemplo sencillo:
Toma $P$ , $Q$ sea irreducible, y $A$ la cadena de bucle propio en todas partes, entonces $P := eP + (1-e) A$ y $Q' := fQ + (1-f) A$ son irreducibles con las mismas distribuciones estacionarias que $P$ y $Q$ . $P'$ y $Q'$ son básicamente versiones perezosas de $P$ y $Q$ .
Por otra parte, para cada $\lambda \in (0,1)$ Puede elegir diferentes $e,f \in (0,1)$ para hacer $ X_{\lambda}(e,f) := \lambda P' + (1 - \lambda) Q' = \lambda e P + \lambda f Q + (1 - \lambda)( 2 - e - f) A$ tienen distribuciones estacionarias extremadamente diferentes.
En concreto, se puede demostrar que para todo $\lambda$ como la distribución estacionaria de $X_{\lambda}(e,f)$ converge a $\pi_P = \pi_{P'}$ como $f \to 0$ y converge a $\pi_Q = \pi_{Q'}$ como $e \to 0$ .
Esto es un montón de palabras -- todo lo que estoy diciendo es algo muy intuitivo: si $P'$ es extremadamente perezoso, entonces mezclarlo con $Q'$ puede tener muy poco efecto en la distribución estacionaria de la mezcla. Como si $P'$ es tan perezoso que sólo da un paso a un nuevo estado una vez en un millón de años, y $Q'$ energéticamente da pasos hacia nuevos estados cada segundo, y luego alterna $P'$ y $Q'$ es básicamente indistinguible de una versión más perezosa de $Q'$ .
Tenga en cuenta que puede hablar de la continuidad de la distribución estacionaria en $\lambda$ -- al considerar la $1$ eigenspaces de $P$ y $Q$ Esto es básicamente decir que si tengo un camino continuo de matrices, con núcleos unidimensionales, entonces los núcleos cambian continuamente. (Así es como demostraría la afirmación de dejar que $e \to 0$ arriba).
Prueba: Si $A_n \to A$ , dejemos que $v_n$ generan los núcleos de $A_n$ . Podemos suponer $||v_n|| = 1$ por lo que por compacidad podemos pasar a una subsecuencia convergente, digamos $v_n \to v$ .
Entonces tenemos $A_n(v_n) = ( A_n(v_n) - A(v_n) ) + (A(v_n) - A(v)) + A(v)$ .
$||A_n(v_n) - A(v_n) ||_2 \leq ||A_n - A||_2 \to 0$ y $A(v_n) - A(v) \to 0$ como $n$ hasta el infinito. Así que obtenemos que $A_n(v_n) \to A(v)$ por la desigualdad del triángulo. Como $A_n(v_n) = 0$ obtenemos que $A(v) = 0$ . Como $||v_n|| = 1$ obtenemos $||v|| = 1$ .
Desde $A$ tiene un núcleo unidimensional, es generado por $v$ . (Nótese que en general el núcleo de $A$ podría saltar de dimensión -- esto podría corresponder al caso de $P$ tienen una única distribución estacionaria, pero $Q$ no tener un estacionario único, por ejemplo, no ser ergódico).
Nota: La relación entre $A$ y $ker(A)$ es en realidad algebraica: al utilizar $ker(A) = im(A^T)^{\perp}$ (una isometría isomórfica en los Grassmannianos pertinentes), basta con controlar la tasa de cambio de la imagen. Para una matriz dada $A$ con un núcleo de dimensión 1, digamos que $I$ es un conjunto de indexación máxima de columnas linealmente independientes, los índices de algún conjunto de columsn que dan una base para la imagen. Cerca de $A$ , $I$ sigue funcionando como base de la imagen, debido a la continuidad del determinante. Las coordenadas de Plucker para la imagen son los determinantes de la $(n-1) \times (n-1)$ menores de $A_I$ (columnas de $A$ correspondientes a los índices $I$ ), por lo que están cambiando algebraicamente.
Esto significa que podría en principio utilizar la fórmula determinante-derivada para controlar la rapidez con la que el núcleo se mueve a lo largo de un camino de matrices $A$ (con todos los núcleos unidimensionales).
No estoy seguro de que esto pueda ser útil en una aplicación en la que no se pueda calcular el núcleo de $A$ (es decir, la distribución estacionaria de $\lambda P + (1 - \lambda) Q = I + A$ ).
Por ejemplo, al tapar el caso $A_m(t) = [tP + (1 - t) Q]_m$ (algún menor correspondiente de la mezcla) en la fórmula de la derivada determinante, $d/dt (det(A(t)) = det(A(t)) tr( A^{-1}(t) d/dt A(t))$ obtenemos $d/dt ( det(A(t)) = det ( A(t) ) tr( (A(t))^{-1} [P - Q]_m)$ . Para ver cómo la velocidad a la que $ker( tP + (1 - t)A)$ se desplaza por el Grassmanniano, hay que calcular un vector $(A_m(t))_{m \in minors(I)}$ para alguna elección local de $I$ , normalizar para que esto sea una trayectoria en la esfera, y luego calcular la derivada de la trayectoria resultante.
Esto parece un poco inútil, pero supongo que lo dejaré.
