Hice una tabla sobre los espacios topológicos con o sin propiedades de conexidad, compacidad y Hausdorff. Sin embargo, no puedo encontrar el ejemplo para los siguientes casos:
¿Podría ayudarme?
Tome la unión disjunta de los Espacio de Sierpinski con un punto para 1. e infinitas copias de ese espacio para 2.
Edición: por qué tu pregunta (y mi respuesta) no es quizás tan interesante: tan pronto como tienes un espacio no-Hausdorff, también tienes uno no-conectado (toma la unión disjunta). En cuanto se tiene un espacio compacto, que satisface alguna propiedad "local", se obtiene uno no compacto, tomando infinitas uniones disjuntas.
Así que, en realidad, la última parte de mi respuesta podría ser más interesante, ya que te dice cómo pensar para encontrar contraejemplos en topología.
Tomar $X=\mathbb R$ y definir la topología $\tau=\{X,(-\infty,0),[o,\infty)\} $ es fácil confirmar que es compacto+no Hausdorff+no conectado.
para el segundo caso: tomar $Y=\prod _{\alpha\in\mathbb N}X_\alpha$ mientras que $X_\alpha=X$ del último caso con la topología de caja.es fácil ver la forma en que no es hausdorff+no conectada. para mostrar que no es compacta tomar la cubierta $$\{\prod_{\alpha<\beta}A_\alpha\times \prod_{\beta>0} B_\beta \}_\beta $$ mientras que $A_\alpha=(-\infty,0) $ y $B_\alpha=[0,\infty)$
$\pi$ -Base es una base de datos en línea de espacios topológicos inspirada en *Couterexamples in Topology de Steen y Seebach.
Este resultado de la búsqueda detalla tres espacios que son compactos, pero no son Hausdorff ni están conectados:
Este resultado de la búsqueda detalla dos espacios no compactos, no Hausdorff y desconectados:
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