Un samurai se corta un pedazo de bambú

Question

Supongamos que un samurai quiere probar su nueva espada y corta un trozo de bambú dos veces, al azar, por lo que ahora hay $3$ longitud de bambú. ¿Cuál es la probabilidad de que estas 3 piezas poder formar un triángulo?

Nunca he llegó a través de un continuo de problemas de probabilidad antes, pero he intentado hacerlo de todos modos y obtuvieron un resultado de 0.25 probabilidad.

Mi solución: Vamos a $L$ ser el original de la longitud del bambú, $x$ ser el lugar del primer corte y $y$ ser el lugar de la segunda corte. La escritura de todos los 3 el triángulo de las desigualdades, llegamos a la conclusión de que ninguna pieza de bambú puede tener más de $L/2$ longitud, entonces la probabilidad de que estamos buscando es: $$ \frac{\int_{x=0}^{L/2}(\int_{y=L/2}^{x+L/2}(1)dy)dx}{\int_{x=0}^{L}(\int_{y=x}^L(1)dy)dx}=0.25 $$

Answer 1

También hay una bonita geométrica de probabilidad en la solución del problema. Por simplicidad, vamos a $L=1$, $x$ $y$ como la que usted describe. El espacio de todos los posibles valores de $x$ $y$ es la unidad de la plaza de $[0,1]\times[0,1]$, con cada punto de ser igualmente probables (como $x$ $y$ están distribuidos de manera uniforme). En orden para las tres piezas que forman un triángulo, cada pieza debe tener la longitud de menos de $\frac{1}{2}$, así:

• si $x<y$: $x<\frac{1}{2}$, $y-x<\frac{1}{2}$, y $1-y<\frac{1}{2}$;
• o si $x>y$: $y<\frac{1}{2}$, $x-y<\frac{1}{2}$, y $1-x<\frac{1}{2}$.

Representación gráfica de estos en la unidad de la plaza da la región sombreada que se muestra a continuación.

Esta región es $\frac{1}{4}$ de la superficie total de la plaza, por lo que la probabilidad es $\frac{1}{4}$.

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Vale la pena señalar que este similar, pero ligeramente diferente de la pregunta, que surgió a partir de un mis-escrito de simulación de Monte Carlo de este problema.

Answer 2

Que funciona, asumiendo al azar significa que cada punto es distribuido uniformemente en $[0,L]$.

Un enfoque similar es tener en cuenta que la densidad de $x$ $y$ cada $\frac{1}{L}$ por lo que la probabilidad de un triángulo es $$\int_{x=0}^{L/2}\int_{y=L/2}^{x+L/2}\frac{1}{L^2} dy\,dx + \int_{x=L/2}^{1}\int_{y=x-L/2}^{L/2}\frac{1}{L^2}dy\,dx = \int_{x=0}^{L/2}\frac{x}{L^2}dx + \int_{x=L/2}^{1}\frac{L-x}{L^2}dx = \frac{1}{4}$$