¿Es posible encontrar 8 puntos no colineales cuyas distancias mutuas sean racionales?
Esto me vino a la mente después de leer este artículo ( http://mathworld.wolfram.com/RationalDistances.html )
Ten en cuenta que en mi pregunta 4 puntos pueden estar en una circunferencia.
Pero no hay tres puntos colineales.
Se agradecen las respuestas que hagan referencia a un artículo/prueba.
En una circunferencia unitaria, se puede producir un número contable de puntos para que las distancias mutuas sean racionales. Por eso excluyen los puntos del círculo en su problema.
Para explicar lo que ocurre aquí: digamos $z_l= e^{i\alpha_k}$ , $k = 1,2$ . Entonces $$|z_1 - z_2| = 2 |\sin(\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2})|$$
Dejemos ahora $\alpha_k = 2 \beta_k$ . Entonces $|z_1 - z_2| = 2 |\sin(\beta_1 - \beta_2)| = 2 | \sin \beta_1 \cos \beta_2 - \sin \beta_2 \cos \beta_1|$ .
Toma ahora $\beta_k$ para que $\tan \frac{\beta_k}{2}$ es racional. Entonces ambos $\sin \beta_k$ y $\cos \beta_k$ será racional. Además, las distancias entre todos estos puntos serán racionales.
Por lo tanto, para cada $s\in \mathbb{Q}$ considerar un ángulo $\beta_s$ con $\tan \frac{\beta_s}{2}= s$ . Entonces el punto correspondiente en el círculo será $$P_s= e^{i 2 \beta_s} = \left(\frac{1 - 6 s^2 + s^4}{(1 + s^2)^2}, \frac{4 s (1 -s^2)}{(1 + s^2)^2}\right)$$
Se puede comprobar que $$d(P_s ,P_t) = \frac{4 |(s-t)(1+s t)|}{(1+s^2)(1+t^2)}$$
Estamos tomando cuadrados de puntos racionales en el círculo. Sus distancias por pares también son racionales.
$\bf{Added:}$ Compruebe un problema similar en este sitio en el enlace .
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