Es $G^2$ necesariamente un subgrupo de $G$ ?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $H=\{g^2 : g\in G\}$ entonces, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

$(1)H$ es siempre un subgrupo de $G$

$(2)H$ puede no ser un subgrupo de $G$

$(3)$ Si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces debe ser normal en $G$

$(4)H$ es un subgrupo normal de $G$ sólo si $G$ ia abeliana.

Mi intento

$(3)$ es cierto

Dejemos que $H$ sea un subgrupo y $x^2 \in H$ .

Entonces $gx^2g^{-1}=(gxg^{-1})^2 \in H$

Así que si $H$ es un subgrupo , entonces es normal.

$(4)$ Dejemos que $G=Q_8$ el grupo de los cuaterniones.

Entonces $H=\{1,-1\}$ es un subgrupo normal pero $G$ es no abeliana.

Supongo que $H$ no es necesariamente un subgrupo ya que $H$ puede no ser cerrado bajo la multiplicación, pero no puedo encontrar un ejemplo.

Creo que tengo que buscar grupos no abelianos (pueden ser de orden impar, pero no estoy seguro )

¿Puede dar un ejemplo?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Para grupos abelianos, $g^2h^2 = ghgh = (gh)^2 \in G^2$ así que $H$ es siempre un subgrupo (normal) de $G$ cuando $G$ es abeliano. Como has señalado correctamente, $Q_8$ es un contraejemplo del sentido "sólo si" de (4).

(3) está bien.

(1) y (2) son mutuamente excluyentes, por lo que hay que demostrar la afirmación o encontrar un contraejemplo. Creo que el contraejemplo más pequeño es $A_4$ : trivialmente, cada $3$ -ciclo es un cuadrado (como si $x$ tiene orden $3$ entonces $x=(x^2)^2$ ), y hay ocho $3$ -ciclos en $A_4$ . Cualquier otro elemento no trivial es el producto de dos elementos disjuntos $2$ -ciclos, y como tal tiene orden $2$ por lo que no puede ser el cuadrado de nada como $A_4$ no tiene elementos de orden $4$ .

Así que, $H$ es el conjunto de todos los $3$ -ciclos en $A_4$ y tiene $9$ elementos (ocho más la identidad). Pero $|A_4|=12$ y $9$ no divide $12$ Así que $H$ no puede ser un subgrupo. Y, efectivamente: $$(123)(124) = (13)(24) \not \in H$$