He aquí un lema trivial.
Lema. Dejemos que $f \colon X \to Y$ sea un morfismo de esquemas. Entonces el mapa natural $f^{-1}\mathcal O_Y \to \mathcal O_X$ es un isomorfismo si y sólo si para cada $x \in X$ el mapa natural $\mathcal O_{Y,f(x)} \to \mathcal O_{X,x}$ es un isomorfismo.
Prueba. Un morfismo de gavillas sobre $X$ es un isomorfismo si y sólo si lo es en el tallo de cada $x \in X$ . El tallo de una gavilla $\mathscr F$ en $\iota \colon \{x\} \to X$ viene dada por $\iota^{-1}\mathscr F$ Así que $(f^{-1}\mathcal O_Y)_x = \mathcal O_{Y,f(x)}$ desde $\iota^{-1}f^{-1} = (f \circ \iota)^{-1}$ . $\square$
Bajo supuestos razonables de finitud, esto da un isomorfismo local como sugirió Simon Henry:
Lema. Dejemos que $f \colon X \to Y$ sea un morfismo de esquemas que sea localmente de presentación finita. Entonces $f^{-1}\mathcal O_Y = \mathcal O_X$ es y sólo si para cada punto $x \in X$ existe una vecindad abierta $U \subseteq X$ de $x$ y un barrio abierto $V \subseteq Y$ de $f(x)$ tal que $f$ induce un isomorfismo $U \stackrel\sim\to V$ .
Prueba. Supongamos que $f^{-1}\mathcal O_Y = \mathcal O_X$ y que $x \in X$ . Por el lema anterior, obtenemos $\mathcal O_{Y,f(x)} \stackrel\sim\to \mathcal O_{X,x}$ . Sea $V \subseteq Y$ sea una vecindad abierta afín de $f(x)$ y $U \subseteq f^{-1}(V)$ una vecindad abierta afín de $x$ . Si $V = \operatorname{Spec} A$ y $U = \operatorname{Spec} B$ , entonces el mapa $g \colon A \to B$ es de presentación finita ( Etiqueta 01TQ ).
Dejar $\mathfrak p \subseteq A$ y $\mathfrak q \subseteq B$ sean los primos correspondientes a $f(x) \in V$ y $x \in U$ respectivamente, concluimos que $g^{-1}(\mathfrak q) = \mathfrak p$ y el mapa $A_\mathfrak p \to B_\mathfrak q$ es un isomorfismo. En Etiqueta 00QS esto implica que existe $a \in A\setminus \mathfrak p$ y $b \in B\setminus \mathfrak q$ tal que $A_a \cong B_b$ .
Sustitución de $U$ por $D(b)$ y $V$ por $D(a)$ da a los barrios abiertos $U \subseteq X$ de $x$ y $V \subseteq Y$ de $f(x)$ tal que $f$ induce un isomorfismo $U \stackrel \sim \to V$ . Lo contrario es trivial. $\square$
Los ejemplos incluyen inmersiones abiertas, uniones disjuntas, pero también el mapa de una línea con doble origen a la línea con un solo origen.
Sin embargo, si abandonamos el supuesto de la presentación finita, obtenemos todo tipo de ejemplos:
Ejemplo. Dejemos que $Y$ sea un esquema cualquiera, y consideremos el mapa $$X = \coprod_{y \in Y} \operatorname{Spec} \mathcal O_{Y,y} \to Y.$$ Para un punto $x \in X$ en el componente $\operatorname{Spec} \mathcal O_{Y,y}$ obtenemos un isomorfismo $(\mathcal O_{Y,y})_x \to \mathcal O_{Y,f(x)}$ como se puede ver fácilmente pasando a una vecindad abierta afín de $y$ en $Y$ y utilizando propiedades estándar de localización de anillos.
