Triángulo isósceles y triángulo escaleno

Question

Pregunta :

Dada la base y el ángulo vertical de un triángulo demuestra que su área es mayor cuando el triángulo es isósceles.

Mi intento :

Para el triángulo isósceles (con base dada 2x, y ángulo vertical dejado z):

Nota: $y$ se obtiene por $(180 - z)/2$

He calculado que el área es: $$CD^2 * tan(y)$$ utilizando la trigonometría y el hecho de que la altitud en el triángulo isósceles desde el ángulo del vértice biseca la base.

No sé cómo puedo demostrar que esta zona es la más grande.

Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

El teorema del ángulo inscrito da un círculo como el lugar de todos los triángulos con una base dada y un ángulo dado opuesto a esa base. Entre todos los ángulos posibles de ese círculo, el que maximiza la altura es el que da lugar a un triángulo isósceles.

Answer 2

El círculo es el lugar de todos los triángulos con una base dada y un ángulo dado opuesto a ella. Si se traza una línea paralela a la base hay dos puntos de intersección. La altura de estos dos triángulos escalenos trazados entre los puntos de intersección puede aumentarse alejando progresivamente la recta paralela hasta que corte en dos puntos coincidentes como tangente cuando el vértice del triángulo se sitúe en el vértice como punto tangente coalescente haciéndolo isósceles por simetría.