Gradiente de la métrica de la distancia

Question

Considerando una distancia d(x,y) = $d_A(x,y)$ definido en forma: $\|x-y\|_A = \sqrt{(x-y)^TA(x-y)}$ donde A es una matriz (semidefinida positiva).

Dejemos que $f=\|x-y\|_A$ Así que quiero calcular $\dfrac{\partial f}{\partial A}$

La idea es minimizar la función por el método del gradiente por lo que se necesita una derivación parcial. ¿Cuál sería la respuesta? Gracias.

Answer 1

Hemos empleado la regla de la cadena ( $z=x-y$ ) $$ \frac{\partial f}{\partial A_{kl}}= \frac{1}{2f} \frac{\partial}{\partial A_{kl}} z^T A z. $$

Encontramos la derivada restante, expandiendo $z^T A z$ en componentes y utilizando $\partial_{A_{kl}} A_{mn} = \delta_{km} \delta_{ln}$ : $$\frac{\partial}{\partial A_{kl}} z^T A z = \frac{\partial}{\partial A_{kl}} \sum_{mn} z_m A_{mn} z_n = z_k z_l. $$

Juntando todo, hemos obtenido $$\frac{\partial f}{\partial A_{kl}}= \frac{(x_k-y_k) (x_l-y_l)}{2 f}.$$