Expansión en serie generalizada para $\Gamma(a,z)$ en $a$ en $a=0$

Question

Necesito la expansión en serie generalizada de $\Gamma(a,z)$ para $z\in\mathbb{C}$ y $a\to0^+$ . Mathematica da un resultado que parece correcto, pero tengo que asegurarme de su validez.

Me encontré con esta ampliación en Función Wolfram Research pero no parece funcionar para el caso que me interesa, es decir $a_0 = 0$ . Se podría tomar el límite de los términos aparentemente divergentes (por ejemplo, $\frac{1}{a_0^2}$ ), y creo que así es como Mathematica calcula la expansión.

También encontré una ampliación en DLMF para $\Gamma(a,x)$ donde $x\in \mathbb{R}$ : 8.7.6 . Aunque no se indica, parece que sólo es válido para $a>0$ .

El término principal de la expansión de $\Gamma(a,z)$ en $a$ en $a=0$ si existe, debe ser $\Gamma(0,z)$ que contiene un $\log z$ plazo.

¿Alguna idea?

Answer 1

Puede tener esta expansión

$$ \Gamma(a,z)={\rm Ei} \left( 1,z \right) + b(z)a + O( a^{2}), $$

donde

$$ b(z) = {\rm Ei} ( 1,z) \ln \left( z \right) + \frac{{\gamma}^{2}}{2}+\ln( z )\gamma + \frac{1}{2} ( \ln( z))^{2}+\frac{{\pi }^{2}}{12}-z\,{\mbox{$ _3 $F$ _3 $}(1,1,1;\,2,2,2;\,-z)},$$

donde $ {\mbox{$ _3 $F$ _3 $}(1,1,1;\,2,2,2;\,-z)} $ es el función hipergeométrica generalizada .