Ejemplo: $$ f(x)=\frac{1}{1+x} \qquad x\neq-1 $$ $$ f(x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\;... \qquad |x| < 1 $$
¿Por qué la serie de Taylor no converge para todo x en el dominio de la función?
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En realidad es sorprendente que la serie de Taylor converja a la función en cualquier lugar que no sea $x=0$ -- las funciones que son iguales a su serie de Taylor son en realidad bastante raras.
Por supuesto, la mayoría de las funciones que la gente realmente estudia hacer tienen esta propiedad de ser "analíticos", por lo que es fácil no hacerse una idea de lo especial que es esta propiedad.
Resulta que hay una agradable descripción geométrica de lo que será el radio de convergencia de una serie de Taylor: si miras el plano complejo, tu función analítica puede tener algunas singularidades. La serie de Taylor alrededor de cualquier punto convergerá en un disco alrededor de ese punto cuyo radio es tan grande como pueda ser sin incluir ninguna de esas singularidades.
Su particular $f$ tiene una singularidad en $x = -1$ y esa es su única singularidad en el plano complejo. Así, la serie de Taylor alrededor de $x=0$ tendrá un radio de convergencia igual a $1$ . Su serie de Taylor alrededor de $ x = 41$ tendrá un radio de convergencia igual a $42$ . Su serie de Taylor alrededor de $x = \mathbf{i}$ tendrá un radio de convergencia $\sqrt{2}$ y así sucesivamente.
Esta serie se obtiene de La generalización de Newton del teorema del binomio que sólo es aplicable para $|x|\lt 1$ . Esto también se puede obtener a partir de la serie geométrica infinita, como
$$\lim_{n\to\infty}1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n = \lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{n+1}}{1+x}$$
Claramente, esto sólo converge si $|x|\lt1$
Aunque es útil señalar, que Gottfried Leibniz admitió que la serie,
$$1-2+4-8+\cdots = ?$$
Podría dar como resultado un infinito positivo o negativo dependiendo de cómo se reste, y por lo tanto ninguno de los dos puede ser correcto, y el valor real debe ser finito. Para citar:
"Ahora bien, normalmente la naturaleza elige el medio si ninguno de los dos está permitido, o más bien si no se puede determinar cuál de los dos está permitido, y el conjunto es igual a una cantidad finita".
Lo asoció con $\frac13$ que ahora resulta ser la representación convergente aceptada para esta suma divergente, y puede obtenerse sustituyendo $x=2$ en la serie de Taylor para $\frac{1}{1+x}$ . Así que esta fórmula no es totalmente inaplicable. Cita
user88595
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Una respuesta rápida es imaginar $|x| > 1$ entonces $x^n \to \pm \infty$ como $n\to \infty$ .
Así que tu serie está sumando y restando números cada vez más grandes en cada paso. ¿Cómo es posible que esto converja?
Una razón más matemática es que esto es lo mismo que una fórmula bien conocida : $$\dfrac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+...\qquad |x| < 1$$ multiplicando ambos lados por $1-x$ se obtiene : $$1 = (1+x+x^2+x^3+...+x^n)(1-x) = 1-x+x-x^2+x^2 - ... -x^{n-1}+x^{n+1} - x^n$$ La mayoría de los términos se cancelan y se obtiene : $$1 =\lim_{n\to\infty} 1-x^n$$ Esto sólo es válido para $|x|<1$ .
