¿Compartiendo formas de calcular la probabilidad?

Question

Antecedentes

Por lo tanto, primero vamos a familiarizarnos con lo siguiente truco :

Supongamos que el problema $P_1$ que hay $4$ bolas rojas y $6$ bolas azules en una caja. La probabilidad de que sea roja es

$$ p_1(R) = .4 $$

Y la probabilidad de que sea azul es:

$$ p_1(B) = .6 $$

Ahora considere el problema $P_{1+2}$ hay otra caja y se coge la bola anterior de $P_1$ y lo pone en esta caja. Esta caja tiene $3$ bolas rojas y $4$ bolas azules. Ahora, la probabilidad de que sea roja es:

$$ p_{1+2}(R) = \frac{3+ .4}{7 +1}$$

y la probabilidad de que sea azul es:

$$ p_{1+2}(B) = \frac{4+ .6}{7 +1}$$

Nota: el $1$ en el denominador proviene de $1=.6 + .4$

Por lo tanto, para un problema $P_{1+2+3+\dots+n}$

$$p_{1+ 2 + 3 + \dots + n} (R) = \frac{\text{# of red balls in P(1+2+..+n)} + p_{1+2 +\dots+ n-1}}{\text{# of balls in P(1+2+..+n)} +1 }$$

Se puede anidar esto usando:

$$p_{1+ 2 + 3 + \dots + n-1} (R) = \frac{\text{# of red balls in P(1+2+..+n-1)} + p_{1+2 +\dots+ n-2}}{\text{# of balls in P(1+2+..+n-1)} +1 }$$

Pregunta

Mi pregunta es si se puede construir un problema $\tilde P$ donde las probabilidades asociadas a que sea rojo $\tilde p(R) = I $ y las probabilidades asociadas a que sea azul son $\tilde p(B) = 1 -I$ donde I es un número irracional.

Nota: dado que estamos utilizando el inicio de los números racionales, se necesitaría una serie infinita para producir un número irracional?

Donde $\tilde P$ se construye una expresión para alcanzar las probabilidades relacionadas con $\tilde P = P_{1+2 + 3 + \dots}$ . ¿Tiene el método del truco una tasa de convergencia más rápida (como medida del tiempo empleado) en comparación con los métodos utilizados por el método habitual?

El método habitual incluiría cualquier otro método que siempre funcione (por ejemplo, uno puede simplemente adivinar que la probabilidad es $I$ y acertar la respuesta esta vez) frente a un método de fracción continua (/trick)? ¿Este método lo supera también en el caso finito? ¿Hay algún método para calcular cosas como $\tilde p(R)^2 = \text{rational fraction}$ ¿y luego la raíz cuadrada? En cuyo caso, ¿qué ocurre si la probabilidad irracional es $\frac{1}{\pi}$

Answer 1

En 1987, el autor C. Badea demostró el siguiente criterio de irracionalidad:

Para una serie convergente infinita $\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{b_k}{a_k}}$ de números racionales positivos para tener una suma irracional, $(a_k)$ y $(b_k)$ , $k \geq 1$ deben ser dos secuencias de enteros positivos tales que...

$$a_{k+1} \gt \frac{b_{k+1}}{b_k}a_k^2 - \frac{b_{k+1}}{b_k}a_k + 1$$

En tu ejemplo, tienes...

$$P\left[R_n\right] = \sum_{k=1}^{2^{n-1}}{P\left[R_n\vert E_k\right]P\left[E_k\right]}$$

Donde $n$ es el número de urnas y el $E_k$ s son caminos de permutación. Por ejemplo,...

$$P\left[R_3\right] = P\left[R_3\vert E_1\right]P\left[E_1\right] + P\left[R_3\vert E_2\right]P\left[E_2\right] + \ldots + P\left[R_3\vert E_4\right]P\left[E_4\right]$$

$$= P[R_3|B_1B_2]P[B_1B_2] + P[R_3|B_1R_2]P[B_1R_2] + \ldots + P[R_3|R_1R_2]P[R_1R_2]$$

Evidentemente, esto puede reducirse a una única relación de números enteros $\frac{b_k}{a_k}$ es decir, sería posible elegir relaciones de mármol para que la primera relación se cumpla cuando $n$ se lleva a acercarse al infinito.