Dónde se encuentra?
Lamentablemente no pude encontrar un cerrado fórmula para el trilinears todavía. Aquí es lo que tengo hasta ahora. Deje que el exterior del triángulo tienen borde de longitudes proporcional al $a_1:b_1:c_1$. Las coordenadas trilineales de la recursivo centro de contacto, con respecto a ese triángulo se llamaría $x_1:y_1:z_1$. Ahora las longitudes de los bordes de contacto triángulo sería proporcional a
$$
a_2 = \sqrt{a_1(b_1+c_1-a_1)} \quad:\quad
b_2 = \sqrt{b_1(c_1+a_1-b_1)} \quad:\quad
c_2 = \sqrt{c_1(a_1+b_1-c_1)} $$
Now you can use these to recursively compute the trilinear coordinates of the recursive contact center in that contact triangle. (If you truncate the recursion, it makes sense to return the incenter $1:1:1$ as a simple approximation of the recursive contact center.) Once you have the trilinears from the recursive evaluation, which I'll call $x_2:y_2:z_2$, then you'll have to convert them back to the coordinate system of the original triangle, which you can do like this:
$$
x_1 = b_2c_2(c_2y_2 + b_2z_2) \quad:\quad
y_1 = c_2a_2(c_2x_2 + a_2z_2) \quad:\quad
z_1 = b_2a_2(b_2x_2 + a_2y_2) $$
Note that if you perform the computations as above, without divisions, the numbers will soon become huge. So if you are working with machine floating point numbers, please normalize your homogeneous coordinates from time to time to avoid overflow. This holds for both the edge lengths and the center point.
This is the formula I used in my own computations, and the desired closed formulation would have to be a fixed point of this recursion. Can anyone find a closed formula matching these requirements?
Is it in the Encyclopedia of Triangle Centers?
I've written some code to compute this triangle center recursively. A student of mine has also translated most of the encyclopedia of triangle centers into executable code. Doing numeric comparisons for a number of random test triangles, I found no close match.
Is it transcendental?
Numerical evidence suggests that it is. Using the triangle with $a=3,b=5,c=7$, I found trilinears $x:y:z$ satisfying $x/z\approx0.29$. Computación en la que la relación con un montón de precisión, he encontrado el valor para ser aproximadamente
0.2901425378774023890890847140153204477665819564249629444040395855525851008078622929493468778957137855311070059061997405582658742407042711392158802187935824041603274680962280686259785454943671671340344683208740159441593450479195836145848674869891281275170662378002147142102017923201053181742640888973593035930336046593875689080581428868184115011892392670522423326005906120097513794548786408520913246747932950119453633406514789588374020053829465345912485516927802275899268681603244655541244093635981342417072425618668884097077111520316440358023414732996773535552877904580448766004767522914795269251575980875944444298532923349606436325963868830045845792394939425040883784380914138721011813781448984550854693939702384602797877302033485368016858797738633992505779934227491761232288232711291697571546352624223950935770199088671340256779034197468547572786516526349833053447668911434195416115145270146443449468483617871798619452339805142783057617788544823497855279617123233893574568822481880757411765168300032087298065287218174310288633414363685896591728766347742689537543162123174783363020300184643826217872037387389139708483229221139002304353795457049844703837202929308925114228807013382473385921620332202357199653126532987639325469716281576
Yo creo que todos estos dígitos para ser confiables, ya que están respaldados por dos más en el cálculo, cada una a dos veces el número de bits y dos veces la profundidad de la recursión como el de antes. Los dos verificación de los cálculos de acuerdo con una a la otra en aproximadamente dos veces el número de dígitos que me dio anteriormente, por lo que los de arriba que realmente debe ser estable en el aumento de la precisión o la profundidad.
Que aproxima el número de PARI s algdep función, y utilizando aproximadamente la mitad de los dígitos como entrada, producirá un polinomio (probado hasta grado 64) que explica estos dígitos muy bien, pero es totalmente incapaz de reproducir el resto de los dígitos. Por lo que el número no parece ser algebraicas.
Si alguien tiene un enfoque diferente para comprobar si un número dado por una truncado representación decimal es probable algebraicas, siéntase libre de alimentar a mi número por encima de sus herramientas y el informe de sus hallazgos en un comentario o editar.
