Independencia algebraica de las funciones

Question

¿Conoce usted una prueba clara de la independencia algebraica (sobre $\mathbb{C}$ ) de las funciones $f(t) = e^{at}$ y $g(t)=e^{bt}$ cuando $a$ y $b$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ ?

IMPORTANTE: $f$ y $g$ son algebraicamente independientes si para cualquier polinomio no nulo $P \in \mathbb{C}[x, y]$ la función $P(f(t),g(t))$ no es la función cero.

Answer 1

Lema. Si $r_1,r_2,\ldots,r_k$ son números reales distintos, entonces las funciones $f_i(t)=e^{r_it}$ son linealmente independientes sobre $\Bbb{C}$ .

Prueba. Inducción en $k$ . Claro con $k=1$ . Si existe una relación de dependencia lineal entre las funciones $f_i$ entonces diferenciando esa relación con respecto a $t$ tenemos otro. Una combinación lineal adecuada de esas dos relaciones implica entonces un número menor de funciones $f_i$ y la hipótesis de la inducción entra en acción. QED.

Supongamos que existe un polinomio $$ P(x,y)=\sum_{i,j} a_{i,j}x^iy^j\in\Bbb{C}[x,y] $$ tal que $P(e^{at},e^{bt})=0$ para todos $t\in\Bbb{R}$ . Entonces tenemos $$ 0=P(e^{at},e^{bt})=\sum_{i,j} a_{i,j}e^{[ai+bj]t}\qquad(*) $$ para todos $t$ . Aquí $i,j$ son números enteros, por lo que como $a$ y $b$ son linealmente independientes sobre $\Bbb{Q}$ los números $$ r_{i,j}=ai+bj $$ son todos distintos, es decir, diferentes pares de coeficientes $(i,j)$ dar números distintos $r_{i,j}$ .

Pero, a menos que $P$ es el polinomio constante $0$ , $(*)$ muestra que las funciones $e^{[r_{i,j}]t}$ son linealmente independientes sobre $\Bbb{C}$ . Esto contradice el lema, y demuestra tu afirmación.