Martillos parados

Question

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y $\mathbb{P}-$ Movimiento Browniano $B$ partiendo de 0, considere $\tau$ el primer tiempo de golpeo a la 1.

Como $\tau<\infty$ $\mathbb{P}$ a.s., el teorema de parada opcional nos dice que el proceso detenido $B^\tau$ es una martingala que empieza en cero y termina en 1.

Sin embargo, $1=\mathbb{E}[B_\tau]\neq \mathbb{E}[B_{\tau\wedge 0}]=0$ , lo que indica que no debe ser una martingala. ¿Cómo podemos conciliar esto? ¿Dónde se equivoca el argumento?

Answer 1

La propiedad de la martingala sólo se refiere a $(B_{\tau \wedge t}: 0 \leq t <\infty)$ . Estás viendo la variable aleatoria limitante $B_{\tau}=\lim_{t \to \infty} B_{\tau \wedge t}$ y no hay razón para que su expectativa tenga que ser $0$ .

Answer 2

Sí, el proceso $(B_{t \wedge \tau})_{t \geq 0}$ es una martingala, pero estás considerando la variable aleatoria $B_{\tau}$ que no puedes encontrar entre la familia $B_{t \wedge \tau}$ ya que $\tau$ no está acotado.