Solución estrictamente positiva de ecuaciones lineales

Question

Supongamos que $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ , $b\in\mathbb{R}^m$ y $b\in \mathcal{R}(A)$ . Demuestre que existe un $x$ satisfaciendo $x \succcurlyeq 0$ , $Ax = b$ si y sólo si no existe $\lambda$ con $A^\top \lambda\succcurlyeq0$ , $A^\top \lambda\ne0$ y $b^\top \lambda\le0$ .

He resuelto una parte de la prueba definiendo $$p^*=\min_{Ax=b, x\succcurlyeq 0} 0^\top x$$ y por lo tanto $$d^*=\max_{A^\top \lambda \succcurlyeq 0, A^\top \lambda \ne 0} -\lambda^\top b$$

Si $\mathcal P\iff \mathcal Q$ es la prueba requerida en el problema, $!Q\implies !P$ se puede demostrar por dualidad débil en la optimización anterior. ¿Cómo demostramos el otro lado $\mathcal Q\implies \mathcal P$ ? ¿Cómo se define $!Q$ ¿a que hay tres condiciones implicadas?

Answer 1

Esto es la dualidad débil y el lema de Farkas. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Farkas%27_lemma