¿Cómo puedo averiguar el valor de $f(t)$ en esta pregunta?

Question

Dejemos que $f$ : $[0,1]\mapsto[0,\infty)$ sea una función continua tal que $(f(t))^2<1+2\int_{0}^{t}f(s)ds$ para todos $t\in[0,1]$ . Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

$a)$ $f(t)=1+t$ $\forall t\in[0,1]$

$b)$ $f(t)<1+t/2$ $\forall t\in[0,1]$

$c)$ $f(t)> 1+t$ $\forall t\in [0,1]$

$d)$ $f(t)<1+t$ $\forall t\in [0,1]$

Examen de ingreso conjunto del IIT para M.Sc en 2021 , Único correcto

Me resulta difícil encontrar la respuesta correcta. Intenté diferenciarla con respecto a t usando la regla de Leibnitz pero toda la información que me dio fue que $f'(t)<1$ . No tengo ni idea de cómo abordar este problema, así que se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Escriba $g(t) = \int_0^t f(s) ds$ entonces $g'(t) = f(t)$ y

$$g'(t) < \sqrt{1+ 2 g(t)}.$$ Dividiendo $\sqrt{1+2g}$ en ambos lados e integrando desde $0$ a $t$ ,

$$\sqrt{1+2g(t)}- 1 < t\Rightarrow 1+2g(t) < (1+t)^2.$$

Así que

$$f^2(t) < 1+ 2g(t) \le (1+t)^2 \Rightarrow f(t) < 1+t. $$