Condiciones para garantizar una buena integrabilidad del sumo de la diferencia en la vecindad

Question

Dejemos que $u\in L^1(\mathbb{R}^n)$ . Sólo por eso, ¿puedo decir algo bueno de la siguiente integral? $$ \int\limits_{\mathbb{R}^n}{\sup\limits_{|y|\le h}{|u(x+y)-u(x)|} \text{ d}x} $$ Idealmente, la integral existe para valores suficientemente pequeños de $h$ y va a $0$ como $h\rightarrow 0$ .

Si no puedo decir nada bueno, ¿qué condiciones en $u$ me permitirá llegar a la conclusión deseada? Por ejemplo, $u$ siendo Lipschitz y con soporte compacto funcionaría, aunque busco condiciones mucho más débiles.

Answer 1

En caso de que no esté claro, si se asume sólo $u\in L^1$ entonces no, no puedes decir nada bueno.

Primero: Por supuesto que en ese caso lo que realmente se quiere es considerar el supremum esencial, no el sup: Si dejas que $u$ sea la función característica de los racionales entonces $u=0$ casi en todas partes aunque $\sup_{|y|<h}|u(x+y)-u(x)|=1$ por cada $x$ . Ese es un ejemplo totalmente tonto que queremos descartar.

Así que, en su lugar, digamos $m_h(x)$ es el supremum esencial de $|u(x+y)-u(x)|$ para $y\in(-h,h)$ . Eso tiene más sentido; al menos si $u_1=u_2$ casi en todas partes entonces $m_h(u_1)=m_h(u_2)$ casi en todas partes.

Pero no ayuda; existe $u\in L^1$ tal que $m_h(u)(x)=\infty$ por cada $x$ y $h$ . Por ejemplo, dejemos que $$v(x)=x^{-1/2}\chi_{(0,1)}(x),$$ diga $(x_n)$ es un subconjunto denso contable de $\Bbb R$ y que $$u(x)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}v(x-x_n).$$