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Condiciones para garantizar una buena integrabilidad del sumo de la diferencia en la vecindad

Dejemos que u\in L^1(\mathbb{R}^n) . Sólo por eso, ¿puedo decir algo bueno de la siguiente integral? \int\limits_{\mathbb{R}^n}{\sup\limits_{|y|\le h}{|u(x+y)-u(x)|} \text{ d}x} Idealmente, la integral existe para valores suficientemente pequeños de h y va a 0 como h\rightarrow 0 .

Si no puedo decir nada bueno, ¿qué condiciones en u me permitirá llegar a la conclusión deseada? Por ejemplo, u siendo Lipschitz y con soporte compacto funcionaría, aunque busco condiciones mucho más débiles.

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David C. Ullrich Puntos 13276

En caso de que no esté claro, si se asume sólo u\in L^1 entonces no, no puedes decir nada bueno.

Primero: Por supuesto que en ese caso lo que realmente se quiere es considerar el supremum esencial, no el sup: Si dejas que u sea la función característica de los racionales entonces u=0 casi en todas partes aunque \sup_{|y|<h}|u(x+y)-u(x)|=1 por cada x . Ese es un ejemplo totalmente tonto que queremos descartar.

Así que, en su lugar, digamos m_h(x) es el supremum esencial de |u(x+y)-u(x)| para y\in(-h,h) . Eso tiene más sentido; al menos si u_1=u_2 casi en todas partes entonces m_h(u_1)=m_h(u_2) casi en todas partes.

Pero no ayuda; existe u\in L^1 tal que m_h(u)(x)=\infty por cada x y h . Por ejemplo, dejemos que v(x)=x^{-1/2}\chi_{(0,1)}(x), diga (x_n) es un subconjunto denso contable de \Bbb R y que u(x)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}v(x-x_n).

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