Mostrando la convergencia uniforme de $(1-t^n)^{2^n}$

Question

Tengo la siguiente secuencia de funciones: $$h_n(t) = (1-t^n)^{2^n}, \,\,\, t \in [0, 1], n \in \mathbb{N}$$ y he demostrado que $$\lim_{n\rightarrow\infty} h_n(t) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \textrm{for }t \in [0, \frac{1}{2}), \\ 0 & \textrm{for }t \in (\frac{1}{2}, 1], \\ \frac{1}{e} & \textrm{for }t = \frac{1}{2} \end{array}\right.$$ mirando el logaritmo. Ahora necesito demostrar que esto converge uniformemente en intervalos abiertos que no contienen $\frac{1}{2}$ pero no sé muy bien cómo hacerlo. Parece que debería usar la prueba M de Weierstrass, pero no puedo ver realmente la secuencia.

Answer 1

Dejemos que $0\le a<1/2$ . La función $1-(1-t^n)^{2^n}$ es positivo y creciente. Entonces $$ 0\le1-(1-t^n)^{2^n}\le 1-(1-a^n)^{2^n},\quad 0\le t\le a. $$ Esto demuestra que $h_n$ converge uniformemente a $1$ en $[0,a]$ (y en los intervalos cerrados que no contienen $1/2$ .) Pero la convergencia no es uniforme en $[0,1/2)$ . Si $0<\epsilon<1/2$ entonces $$ 0<t_n=\bigl(1-(1-\epsilon)^{2^{-n}}\bigr)^{1/n}<1/2 $$ y $$ 1-h_n(t_n)=\epsilon>0. $$

El caso de los intervalos $[b,1]$ con $1/2<b<1$ se trata de forma similar.