Demostrar que no existe ninguna función con variación acotada tal que...

Question

Demostrar que para cualquier conjunto finito de funciones crecientes y onto $g_i:[0,1] \to [0,1], i=1,2,..,n$ no hay ninguna función $h\neq 0$ con variación acotada tal que:

$$\sum_{i=1}^n h\circ g_i = 0$$ .

Podría demostrarlo para n=2 de la siguiente manera:

siempre podemos suponer $g_1(x)=x, \forall x$ y tenemos $h(x)+h(g_2(x))=0 \; \forall x$ .

Supongamos que $h(x_0)\neq 0$ . luego hacer la secuencia $x_{n+1}=g_2(x_n)$ tenemos $h(x_{n+1})=-h(x_n)$ l.e. $h(x_0)=-h(x_1)=h(x_2)...$ . Además, la secuencia $x_n$ es monótona en un intervalo compacto, por lo tanto converge a un valor x, ahora observando el comportamiento de $h$ alrededor de $x$ podemos ver que no puede tener variación acotada.

Answer 1

Resultado del anexo :

si $h(x)$ es convexo en $[0,1]$ podemos aplicar la desigualdad de Jensen :

$$\sum_{i=1}^{n}h(g_i(x))=0\geq n\operatorname{ h}\Big(\frac{\sum_{i=1}^{n}g_i(x)}{n}\Big)$$

Con igualdad si $g_i$ son todos iguales (caso trivial) por lo que suponemos que $g_i$ no son todos iguales tenemos :

$$\sum_{i=1}^{n}h(g_i(x))=0> n\operatorname{ h}\Big(\frac{\sum_{i=1}^{n}g_i(x)}{n}\Big)$$

Poniendo $y=\frac{\sum_{i=1}^{n}g_i(x)}{n}$ tenemos :

$$0>h(y)\quad \forall\,y\,\operatorname{such that} 0\leq y \leq 1$$

Así que obtenemos una contradicción ya que tenemos :

$$0=\sum_{i=1}^{n}h(g_i(x))<0$$

Lo mismo se puede hacer con $h(x)$ cóncavo

Por tanto, concluimos que la función $h(x)$ no es ni cóncavo ni convexo.