La ecuación $pq = px + qy$ tiene más de una integral completa.

Question

Demuestre que la ecuación $pq = px + qy$ tiene más de una integral completa.

Utilizando el método Charpit encuentro $az = \frac{1}{2}(y + ax)^{2} + b$ , donde $a$ y $b$ son constantes de integración. ¿Cómo puedo encontrar otra? ¿Hay algún teorema que demuestre la existencia de más de una integral completa?

Por favor, ayuda.

Answer 1

$$pq=xp+yq\quad ;\quad p=\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}\quad ;\quad q=\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}$$ Si sólo buscamos soluciones particulares no es necesario el método característico. La inspección simple dibuja para probar una función en la forma $z=f(xy)$ por ejemplo. $$p=yf'\quad;\quad q=xf'\quad;\quad xy(f')^2=x(yf')+y(xf')=2xyf'\quad;\quad f'=2$$ $$\boxed{z(x,y)=2xy+c}$$ Esto es suficiente para demostrar que hay más de una solución $az=\frac12(y+ax)^2+b$ .

Tenga en cuenta que esta solución $az=\frac12(y+ax)^2+b$ se puede obtener directamente en la búsqueda de soluciones particulares de la forma $z=f(\alpha y+\beta x)$ .

Con el método de Charpit-Lagrange el sistema de EDOs características es : $$\frac{dx}{x-q}=\frac{dy}{y-p}=\frac{dp}{-p}=\frac{dq}{-q}=\frac{dz}{(x-q)p+(y-p)q}$$ Obsérvese que la última fracción no tiene interés, ya que es la combinación de las dos primeras fracciones y equivale a la obvia $dz=p\,dx+q\,dy$ .

No es necesario repetir aquí el conocido método que, por ejemplo, se explica con todo detalle en este vídeo : https://www.youtube.com/watch?v=U51hN02LYrw

La solución $z=2xy+c$ es sencillo observar que el sistema de EDOs se satisface con $p=2y$ y $q=2x$ : $$\frac{dx}{x-(2x)}=\frac{dy}{y-(2y)}=\frac{d(2y)}{-(2y)}=\frac{d(2x)}{-(2x)}$$ $\frac{\partial z}{\partial x}=2y\implies z=2xy+g(y)\quad$ y $\quad\frac{\partial z}{\partial y}=2x\implies z=2xy+h(x)$

$g(y)=h(x)\implies =c \quad\implies z=2xy+c$