¿Cuándo hay que multiplicar las probabilidades?

Question

En una prueba de acceso que se califica sobre la base de dos exámenes la probabilidad de que un estudiante elegido al azar apruebe el primer examen es de 0,8 y la probabilidad de aprobar el segundo examen es de 0,7. La probabilidad de aprobar al menos uno de ellos es 0.95. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambos?

Si la probabilidad de aprobar el primer examen es de 0,8 y la probabilidad de aprobar el segundo es de 0,7, ¿por qué no puedo multiplicar las dos probabilidades para obtener la probabilidad de que alguien apruebe ambos ¿los exámenes? Mis libros de texto dan como respuesta 0,55, que es diferente de lo que se obtiene si se multiplican las probabilidades (,56).

Entiendo cómo mi libro de texto llega a 0,55 (utiliza $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ ), pero quiero entender por qué no puedo simplemente multiplicar las probabilidades. Además, las dos respuestas están muy cerca la una de la otra (.55 vs.56).

Answer 1

Sólo se pueden multiplicar las probabilidades si los dos sucesos son INDEPENDIENTES entre sí. En otras palabras, el resultado de que una cosa sea cierta no tiene ningún efecto sobre la otra.

En este caso, el hecho de que alguien apruebe un examen significa que probablemente sea mejor estudiante y, por tanto, más probable que apruebe el segundo examen.

Digamos que 9 de cada 10 estudiantes han aprobado la prueba 1, y 8 de cada 10 estudiantes han aprobado la prueba 2. En concreto, en este caso, digamos que 8 de cada 8 estudiantes han aprobado ambas pruebas. Por tanto, tenemos un alumno que ha aprobado sólo la primera prueba y otro que ha suspendido las dos.

Así que si tratas de obtener la probabilidad de que un estudiante al azar suspenda ambos exámenes, en este caso, es claramente 1 de cada 10. Si lo intentaras por multiplicación, obtendrías $.2$ veces $.1$ que es $.02$ o 1 de cada 50.

Answer 2

La razón es que ambos acontecimientos (aprobar el primer examen y aprobar el segundo) no son independientes. Sólo entonces es correcta la regla de multiplicar las probabilidades individuales.

Parece que los valores para este problema fueron elegidos de tal manera que los eventos están sólo ligeramente correlacionados (lo que significa que su dependencia entre ellos no es muy grande), de tal manera que la fórmula del producto incorrecto da un resultado casi correcto. Pero eso es sólo debido a los valores de las probabilidades, podría ser muy diferente en otro contexto con un resultado más diferente.