Pregunta sobre el punto singular esencial de una función

Question

Cómo demostrar la función $$ f(z)=\exp\Big(\frac{z}{1-\cos z}\Big)$$ tiene una singularidad esencial en $z=0$ ?

En realidad es difícil expresar la serie Laurent de $f(z)$ alrededor de $0$ porque el poder $\frac{z}{1-\cos z}$ ya está en la forma de serie (ya que $\cos z$ aparece allí y tiene la expansión de la serie) y $e^{z/(1-\cos z)}$ tiene de nuevo una forma de serie.

Edición 1: Ya veo este pero no da información sobre la expansión de Laurent de $f(z)$

Edición 2: ¿Cómo proceder o puede alguien explicar el límite de $e^{z/(1-\cos z)}$ en $0$ no existe?

Answer 1

Es suficiente con demostrar que el límite $$a = \lim_{z \to 0} \exp \left( \frac{z}{1-\cos z} \right)$$ no existe, pues tenemos la siguiente tricotomía:

• si $z$ es una singularidad removible, el límite existe y $a \in \mathbb{C},$
• si $z$ es un polo, entonces $a = \infty$ (el complejo infinito),
• si $z$ es una singularidad esencial, el límite no existe.

Answer 2

$\exp \left( \frac{z}{1-\cos \left( z \right)} \right)=\exp \left( \frac{2}{z}+\frac{z}{6}+\frac{{{z}^{2}}}{120}+... \right)=\exp \left( \frac{2}{z}+O\left( z \right) \right)=\exp \left( O\left( z \right) \right)\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{2}^{n}}}{n!{{z}^{n}}}}$

...o me estoy perdiendo algo?

Editar: si eso no es suficiente, anota: $$\begin{align} & \frac{z}{1-\cos \left( z \right)}=\frac{z}{2}{{\csc }^{2}}\left( \frac{1}{2}z \right)=\frac{z}{2}{{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}2\left( {{2}^{2n-1}}-1 \right){{B}_{2n}}}{\left( 2n \right)!}}{{\left( \frac{z}{2} \right)}^{2n-1}} \right)}^{2}} \\ & =\frac{z}{2}{{\left( \frac{2}{z}+\frac{z}{12}+... \right)}^{2}}=\frac{2}{z}{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{24}+... \right)}^{2}}=\frac{2}{z}+O\left( z \right) \\ \end{align}$$

Answer 3

Queremos demostrar que la serie de Laurent de la función tiene infinitos términos negativos. Como has dicho, puede ser difícil expresar toda la serie de Laurent, pero hay una fórmula para cada uno de los coeficientes de Laurent:

$$a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{z^{n + 1}}dz$$

donde $\gamma$ es una curva alrededor de $0$ dentro de un anillo en el que $f$ es holomorfo. Tal vez usted podría tratar de demostrar que no hay $n < 0$ tal que para todo $k < n$ , $a_k = 0$ .