¿El espacio métrico completo acotado es compacto?

Question

Esta pregunta puede parecer trivial, pero en topología nos enseñaron que en un espacio métrico completo, un subconjunto de ese espacio era compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Además, nos dijeron que para cualquier espacio topológico $X$ por definición $X$ está cerrado. ¿Se deduce que si $X$ es un espacio métrico completo, y $X$ está acotado en su métrica, entonces $X$ es compacto en esa topología?

Answer 1

La caracterización general es que un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Esto último significa que para cualquier $\varepsilon > 0$ el espacio tiene una cobertura finita por bolas de radio como máximo $\varepsilon$ (a veces se denomina " $\varepsilon$ -red"). Esto descarta, por ejemplo, la bola unitaria cerrada en un espacio de Banach de dimensión infinita, que es un espacio métrico cerrado, acotado y no compacto.

Answer 2

No. Considera $(\mathbb R,d)$ por la métrica: $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ .