¿Cómo comprobar si la matriz es diagonalizable?

Question

¿Hay alguna forma exacta de comprobar si una matriz es diagonalizable? Por ejemplo, tengo una $m\times n$ matriz $A$ y necesito demostrar que $AA^T$ es diagonalizable.

Answer 1

$AA^T$ es una matriz simétrica por lo que es diagonalizable.

Answer 2

$AA^T$ es simétrica, por lo que es diagonalizable.

Para una matriz cuadrada general, calcula la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica para cada valor propio. Tienen que ser iguales para que sea diagonalizable.

Edición: gracias al comentario de Robert Israel, estoy asumiendo $A$ es real.

Answer 3

Suponiendo que $A$ es una matriz real, observe que

$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T; \tag{1}$

así $AA^T$ es simétrica. Pero las matrices simétricas son siempre diagonalizable. . .