Tenemos $f(x,y) = \frac{xy}{(x^2 + y^2)^{\frac{1}{3}}}$ si $(x,y)$ son diferentes de $(0,0)$ y $0$ si $(x,y)= (0,0)$ y queremos comprobar si $f(x,y)$ es diferencial en $(0,0)$ . He demostrado que f es continua en $(0,0)$ y calculamos las derivadas parciales. Además, utilizando los límites he demostrado que $\frac{df}{dx} = 0$ si $(x,y) = (0,0)$ y $\frac{df}{dy} = 0$ si $(x,y)=(0,0)$ . Todo lo que tenemos que hacer ahora es demostrar que son continuos en $(0,0)$ . Aunque he calculado las derivadas parciales, tengo problemas para acotarlas y demostrar la continuidad. Se agradece cualquier ayuda.
Respuestas
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Dado que las derivadas parciales en $(0,0)$ son $0$ la función es diferenciable en $(0,0)$ si y sólo si $D_{(0,0)}f$ es la función nula, lo que significa que $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{(x^2+y^2)^{5/6}}=0.\tag1$$ Esto es cierto: si $\|(x,y)\|=r$ entonces $|xy|\leqslant r^2$ y $(x^2+y^2)^{5/6}=r^{5/3}$ . Por lo tanto, $$\left|\frac{xy}{(x^2+y^2)^{5/6}}\right|\leqslant\sqrt[3]r$$ y así $(1)$ se mantiene.
Michael K Campbell
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Si se pasa a coordenadas polares, queda claro $z:=f(x,y)=r^{4/3}\cos\theta\sin\theta$ , donde $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ con $r\geqslant0$ y $-\pi<\theta\leqslant\pi$ . Entonces $\partial z/\partial\theta$ y $\partial z/\partial r$ están limitados por $\frac43r^{1/3}$ como $r\to0$ a lo largo de cualquier trayectoria cerca del origen.
