El cardenal no es absoluto

Question

Jech en su "Teoría de Conjuntos" afirma sin elaborar que los conceptos cardinales no son absolutos en general. ¿Puede alguien dar más detalles sobre esto?

Answer 1

Consideremos un submodelo elemental contable de $V_\kappa$ para algún cardenal $\kappa>\omega_1$ .

Desde $\omega_1$ es definible allí, está en el submodelo. Genial, ahora toma un colapso transitivo. Eso es un modelo transitivo contable de alguna cantidad de teoría de conjuntos. Pero ahora $\omega_1$ se ha reducido a un ordinal contable.

Así que tenemos un ordinal contable y un conjunto transitivo que piensa que este ordinal es un cardinal incontable. Así que ser un cardinal no es absoluto.

Answer 2

De hecho, yo iría un poco más allá y diría que las propiedades cardinales son rara vez absoluto. Recuerda que "absoluto" significa que el valor de verdad de la propiedad no cambia cuando te mueves entre modelos más grandes y más pequeños.

Incluso ser cardenal no es absoluto. Por ejemplo, es bastante sencillo construir un par de modelos $M_0 \subseteq M_1$ para que el ordinal $M_0$ cree que el primer cardinal incontable es realmente contable en $M_1$ (por lo que no es un cardenal en absoluto).

La cuestión es que la mayoría de las propiedades cardinales implican la frase "existe..." o la frase "para cada...", una vez que se navega por todas las definiciones. Lo que esto significa es que, por lo general, se puede mover abajo a un modelo más pequeño en el que lo que existía no existe, o arriba a un modelo más amplio en el que lo que solía ser siempre cierto tiene un contraejemplo.