No sé por qué la gente vota a la baja la pregunta. Es obvio que no estás lo suficientemente familiarizado con la relatividad general, pero entiendo tu pregunta.
En la RG, el objeto más importante es el métrica que nos indica cómo medir distancias utilizando unas coordenadas. La longitud al cuadrado de un segmento de línea infinitesimal en el espaciotiempo viene dada por
$$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu =\left[ \matrix{ dx_0 & dx_1 & dx_2 & dx_3} \right]\left[ \matrix{ g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03 } \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13 } \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23 } \\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33}} \right] \left[ \matrix{ dx_0 \\ dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3} \right]$$
Aquí, $g_{\mu \nu}$ se llama tensor métrico y es una matriz que contiene toda la información que necesitamos para medir las distancias temporales y espaciales.
La velocidad en la RG se describe con un 4-vector conocido simplemente como 4-velocidad . Viene dado por $$U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} $$ $\tau$ significa tiempo adecuado que se define por $d\tau^2 = -ds^2$ pero no nos preocupemos por su significado por ahora. Configuración $c=1$ para simplificar, podemos escribir los componentes del vector explícitamente: $$U^\mu = (\gamma, \gamma \mathbf{u}) = \left[ \matrix{ \gamma \\ \gamma \frac{dx_1}{dt} \\ \gamma \frac{dx_2}{dt} \\ \gamma \frac{dx_3}{dt} } \right] $$ Aquí, $\gamma$ es el Factor de Lorentz dado por $$\gamma = \frac{d\tau}{dt}$$ y describe la relación de cambio de tiempo adecuado con respecto a coordinar el tiempo . En otras palabras, describe cuánto te mueves en el espaciotiempo cuando no te mueves por el espacio en ese sistema de coordenadas. O, si se quiere, describe la velocidad en el tiempo (dilatación del tiempo, para ser precisos). Los otros tres componentes describen velocidad en el espacio multiplicado por $\gamma$ .
¿Siguiendo hasta ahora? Si no lo estás, busca los términos desconocidos, ¡deberías encontrarlos fácilmente!
Bien, una vez que se ha dicho esto, veamos lo que ocurre en el campo gravitatorio cerca de un objeto esférico de masa no cargado y no giratorio $M$ . La solución de este problema se expresa más fácilmente con la fórmula Métrica de Schwarzschild dado por $$ds^2 = - \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) dt^2 + \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$ Aquí, $G$ es la constante gravitacional de Newton y las coordenadas que utilizamos se conocen como Coordenadas de Schwarzschild . $t$ es la coordenada temporal medida por un observador infinitamente alejado del objeto y $r$ es la coordenada radial, que mide la circunferencia, dividida por $2\pi$ de una esfera centrada en el objeto. Para simplificar, se puede ver $t$ como el tiempo y $r$ como la distancia desde el centro del objeto, pero tenga en cuenta que estas coordenadas tienen definiciones concretas. $\Omega$ significa coordenadas angulares, pero no vamos a preocuparnos por ellas aquí.
Introduciéndolo en la fórmula del principio, se puede escribir el elemento de distancia del espaciotiempo (ignorando la parte angular para simplificar, es decir $d\Omega = 0$ ) utilizando esta ecuación matricial:
$$ds^2 = \left[ \matrix{ dt & dr } \right] \left[ \matrix{- \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) & 0 \\ 0 &\left( 1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1}} \right] \left[ \matrix{ dt \\ dr } \right] $$
La velocidad (de nuevo, ignorando la parte angular) es entonces $$ \left[ \matrix{ \frac{dt}{d \tau} \\ \frac{dr}{d \tau} } \right] = \left[ \matrix{ \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{2GM}{r}} }\\ \sqrt{ 1 - \frac{2GM}{r} } } \right] $$
Entonces, cuando te acercas al objeto, $r$ disminuye y su velocidad en el tiempo disminuye mientras que velocidad en el espacio aumentos. Pero no considere las distancias $r\leq 2GM$ porque te encontrarás con algún problema que está fuera del alcance de esta respuesta. ( Para completar, permítanme mencionar que los objetos con un radio menor que $2GM$ son agujeros negros y su horizonte de sucesos estaría en $r_s=2GM$ conocido como el radio de Schwarzschild )
Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es sí Pero hay que tener cuidado con las palabras y ser específico con su significado.
Puede que se me haya escapado un signo menos en alguna parte, pero no debería afectar a la conclusión. He utilizado el $(-,+,+,+)$ convención. Siéntase libre de corregirme o señalar un error.
