Hoy mismo me he encontrado reflexionando sobre la siguiente pregunta para la que no tengo una respuesta razonable.
Supongamos que $f_m\to f$ y $g_m\to g$ en $L^2$ . Además, supongamos que $f_m g_m\in L^2$ para todos $m$ y $fg\in L^2$ . ¿Es el caso que $f_m g_m \to fg$ en $L^2$ ?
El enfoque ingenuo de utilizar una forma inteligente de $0$ no funciona del todo ya que se obtiene
$$\|fg - f_mg_m\| \le \|(f-f_m)g\| + \|f_m(g-g_m)\|.$$
La forma más sencilla de asegurarse de que esto llegue a cero es si tiene un $L^{\infty}$ acotación uniforme en el $f_m$ y un $L^{\infty}$ limitación en $g$ . Esta última condición no es demasiado fuerte, pero la $L^{\infty}$ acotación uniforme de la $f_m$ es una condición muy fuerte. Además, en este enfoque está implícita la suposición ligeramente oculta de que $f_mg \in L^2$ para todos $m$ . También pensé en extraer subsecuencias convergentes puntuales en casi todas partes, pero se me cruzaron los cables.
Si esto no es cierto en general, ¿qué condiciones se pueden poner para que se cumpla? Condiciones que no sean las indicadas anteriormente, por supuesto, ya que esas condiciones son muy fuertes.
