Encontrando $a$ y $r$ tal que $\lim\limits_{n\to \infty} n^r \cdot \frac12 \cdot \frac34 \cdots \frac{2n-1}{2n}=a$

Question

Encuentre $a,r>0$ tal que

$$\lim_{n\to \infty} n^r \cdot \frac12 \cdot \frac34 \cdots \frac{2n-1}{2n}=a$$

No tengo ninguna idea para resolverlo. ¿Cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

Pistas: (1) Escribe el producto de números racionales como un único número racional, utilizando sólo potencias de $2$ y factoriales . (2) Utilizar La fórmula de Stirling para calcular los equivalentes simples del numerador y el denominador. El cociente de estos debe ser su $an^{-r}$ .

(Para ayudarte a comprobar tus cálculos, menciono que $r=\frac12$ .)

Answer 2

Partiré de un límite célebre, a saber, el producto de Wallis que afirma que:

$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdot \cdot $$

Sin pérdida de generalidad, consideramos un número par de factores del límite exceptuando ${n^r}$ , y luego aplicando el producto de Wallis lo obtenemos:

$$ \lim_{n\to \infty}\frac{n^r}{\sqrt{2n+1}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$$ que obviamente nos da $L =\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ para $r=\frac{1}{2}$

La prueba es completa.

Answer 3

Aquí están los detalles de la respuesta de @did. Escribe $$ \frac12 \cdot \frac34 \cdots \frac{2n-1}{2n} = \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2}=\frac{1}{4^{n}}{2n \choose n} $$ Tenemos la siguiente asintótica para el coeficiente binomial central : $$ {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\text{ as }n\rightarrow\infty $$ Por lo tanto, $$ \frac12 \cdot \frac34 \cdots \frac{2n-1}{2n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} $$ y así $$ n^{1/2} \frac12 \cdot \frac34 \cdots \frac{2n-1}{2n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}} $$