¿Admite un álgebra sobre un subconjunto de los reales intervalos con límites abiertos y cerrados en ambos extremos?

Question

Este tema viene de Introducción a la teoría econométrica de Gallant (1997). En su camino hacia la descripción de un $\sigma$ -Álgebra, dice Gallant:

. dejar $\mathscr A$ denotan la colección de los conjuntos de la forma ( a , b ] con 0 $\le$ a $\lt$ b $\le$ 1, uniones finitas de tales conjuntos, más el conjunto vacío {}. . .

Afirma que esto se cierra por cortesía:

. Tenga en cuenta que (ii) ~A $\in$ $\mathscr A$ siempre que A es .

Sin embargo, esto parece falso. Dejemos que S \= (0,1], que está claramente en $\mathscr A$ . ~S entonces, es [0], que no está en $\mathscr A$ . Además, Gallant sugiere que uno de los rasgos definitorios de una $\sigma$ -que contiene $\mathscr A$ (aparentemente en contraste con $\mathscr A$ mismo) es que admite intervalos de la forma ( a , b ), [ a , b ], y [ a , b ). Pero parece que, si $\mathscr A$ se cierra bajo el complemento, también tendría intervalos de estas formas. ¿Cómo estoy confundido?

Answer 1

Basándome en sus citas, creo que $\mathscr A$ se supone que es un álgebra sobre $(0,1]$ en lugar de, como parece suponer, en $[0,1]$ .

Entonces su $S$ no es un problema, porque el complemento de $S$ es ahora $\varnothing$ que está explícitamente en $\mathscr A$ .

Estar cerrado bajo complemento no hace $\mathscr A$ contienen intervalos de la forma $(a,b)$ , $[a,b]$ o $[a,b)$ .

Considere por ejemplo, $T=(\frac13,\frac23]$ Su complemento es $(0,\frac13]\cup (\frac23,1]$ . Tenga en cuenta que ambos $T$ y su complemento está formado por intervalos abiertos a la izquierda y cerrados a la derecha. Los complementos no pueden hacer que el extremo izquierdo sea cerrado o que el extremo derecho sea abierto -- y tampoco pueden finito sindicatos e intersecciones.

Una vez que extienda $\mathscr A$ a un $\sigma$ -También se pueden crear uniones e intersecciones contables infinitas. Estas operaciones permiten crear, por ejemplo $(\frac13,\frac23)$ como la unión $\bigcup_{n>4} (\frac13,\frac23-\frac1n]$ .