Hace $\mathbb{R P}^n \times \mathbb{R P}^n$ admiten una métrica con curvatura seccional positiva?

Question

Mi profesor de geometría riemanniana nos dio el siguiente ejercicio.

Dejemos que $M = \mathbb{R P}^n \times \mathbb{R P}^n$ , donde $\mathbb{R P}^n$ es el $n$ -espacio proyectivo de dimensiones. Demuestre que $M$ no admite una métrica con curvatura seccional positiva.

Pude probar el resultado en el caso $n$ es impar: En este caso, $\mathbb{R P}^n$ es orientable y por tanto $M$ es orientable. Si $M$ admite una métrica con curvatura seccional positiva entonces por la Teorema de Synge $M$ debe estar simplemente conectado, lo que no es el caso porque $\pi^1(M) = \mathbb Z / 2\mathbb Z\times\mathbb Z / 2\mathbb Z$ .

¿Cómo puedo demostrar el resultado si $n$ ¿está a mano?

Answer 1

Supongamos que $n$ incluso. Entonces $M$ es no orientable y tiene curvatura seccional positiva. Consideremos la cubierta doble orientable $\hat M \rightarrow M$ y retirar la métrica de Riemann a $\hat M$ . Entonces $\hat M$ tiene curvaturas seccionales positivas y por el teorema de Synges $\hat M$ está simplemente conectado. Esto implica que $\pi_1(M)=\mathbb{Z}/2$ , lo cual es erróneo.