Teorema de Kronecker - inverso

Question

No sé cómo demostrar que el teorema de Kronecker es falso si $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , $\dots$ , $\alpha_{M}$ no son independientes.

Teorema de Kronecker Supongamos que $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , $\dots$ , $\alpha_{M}$ son números reales independientes. Entonces, dados los números reales números reales $\beta_{1}$ , $\beta_{2}$ , $\dots$ , $\beta_{M}$ y $\epsilon>0$ podemos encontrar enteros $N$ , $m_{1}$ , $m_{2}$ , $\dots$ , $m_{M}$ tal que $$|N\alpha_{j}-\beta_{j}-m_{j}|<\epsilon$$ para cada $1\leq j\leq M$ .

Donde si $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , $\dots$ , $\alpha_{M}$ satisfacer

$\sum_{j=1}^{M} n_{j}\alpha_{j}\notin{\mathbb Z}$ para los enteros $n_{j}$ no todo es cero

entonces decimos que son números reales independientes.

Es fácil si $M=1$ desde entonces $\alpha_1$ es racional y $N\alpha_1$ sólo toma un número finito de valores módulo 1. Pero no consigo hacer nada ni siquiera para $M=2$ . He intentado hacer un dibujo pero me cuesta llegar a algún sitio.

Answer 1

Si $\alpha_1,\cdots, \alpha_M$ no son independientes, entonces satisfacen $$n_0+\sum_{j=1}^{M} n_{j}\alpha_{j}=0,$$ para los enteros $n_i$ no todo es cero.

Entonces el conjunto $\{( N\alpha_1,\cdots, N\alpha_M)|N\in \mathbb{N}\}$ será un subconjunto de $$\{(x_1,\cdots, x_n)| \sum_{j=1}^{M} n_{j}x_j =m \textrm{ for some } m\in\mathbb{Z}\}.$$

El conjunto anterior no es un subconjunto denso de $\mathbb{R}^M$ .